単位円上にn点A_1,A_2,…A_nがあったとき、OA_1↑+OA_2↑+…+OA_n↑=0↑ならば

質問

つい先ほど数学カテですばらしい回答をいただきました。ありがとうございます。拡張問題としてはどうなるのか疑問を持ちました。

中心を原点Oとする単位円上にn点A_1,A_2,…,A_nがあったとき、

OA_1↑+OA_2↑+…+OA_n↑=0↑

とn個のベクトルの和が0となるとき、いったいどういった関係があるのでしょうか?

たとえば、n=3であれば、3点A_1,A_2,A_3は正三角形の頂点をなすことは、先ほど教えていただきました。

たとえば、n=4であれば、4点A_1,A_2,A_3,A_4は長方形（もしくはつぶれて線分になったもの）の頂点をなすであろうと予想しますが。

回答No.7

kumipapa

aiueoさんがおっしゃっておられることは、例えば、(以下すべてベクトルです）
OB1=OA1
OB2=OB1+OA2
...
OBn=OB(n-1)+OAn
としたときに、OBn=0で、多角形B1B2B3...Bnが等辺多角形になるということですね。
あまり良く考えずにその点勘違いし、失礼しました。
私（ならびに他の方々）の回答は単位円の周上のn個の点A1,A2,A3,...,Anの位置関係の話ですが、それとauieuさんの等辺多角形になるという事実との関係が見えて興味深いです。

回答No.6

kumipapa

n=2 のとき、OA1↑、 OA2↑は逆向きのベクトル
n=3 のとき、A1A2A3は正三角形

n=4 のとき、２組の逆向きのベクトル。故に、四角形A1A2A3A4は長方形（正方形も当然含みます。全ての点が単位円周上にありますので、長方形でないひし形や平行四辺形にはなりません）。

n=5 のとき
（１）　逆向きベクトル一組と、正三角形
（２）　正五角形

n=6 のとき
（３）逆向きベクトルが３組
（４）逆向きベクトルが１組と長方形　・・・（３）に含まれる
（５）２組の正三角形
（６）正六角形　・・・（３）に含まれる

n=7 のとき
（７）２組の逆向きベクトルと正三角形
（８）１組の逆向きベクトルと正五角形
（９）長方形と正三角形　・・・（７）に含まれる
（１０）正七角形

・・・
となりそうです。

このように、nが偶数でも、逆向きベクトルの組が常に存在するとは限りません。ｎが偶数でも奇数でも、いくつかの逆向きベクトルの組といくつかの正多角形の組み合わせ、または、正ｎ角形となります。
結局、ベクトルの集合｛OA1↑,OA2↑,…,OAn↑｝がいくつかの部分集合に分割されてそれぞれの部分集合でベクトル和がゼロになるか（逆向きベクトルの組と正多角形の組み合わせ）、または、そのような部分集合には分割されずに正ｎ角形になるか、という条件で必要充分なのだろうと思います。n=6のときは、ベクトルの分割の仕方として、２＋２＋２，２＋４，３＋３，６が考えられ、それぞれが（３）～（６）になります。また、n=7のときは、２＋２＋３，２＋５，３＋４，７が考えられ、（７）～（１０）になります。
なお、全ての点が単位円上にありますので、正多角形でない等辺多角形にはなりません。

回答No.3

zk43

n=5だと、
(-1,0),(0,1),(0,-1),(1/2,√3/2),(1/2,-√3/2)
の5点でも0ベクトルになりますね。
正n角形でなくても、ほうきのような形でも0ベクトルになる。
結構いろんな形が考えられそうで難しい。
原点を通る直線に関する対称性はある気がする。

回答No.2

Tacosan

n=4 のときは長方形になりそうですね.
証明 (のようなもの):
A1, A2 は y軸に関して対称な位置にあるとします. OA1 + OA2 は y軸上にあります.
OA1 + ... + OA4 = 0 ですから, OA3 + OA4 はこのベクトルを相殺する必要があります. つまり, OA3 + OA4 の x成分は 0 です. これは A3, A4 も y軸に関して互いに対称な位置にあることを意味しますが, ベクトルを相殺するためには A3 と A1, A2 のいずれかが x軸に関して対称な意味になければなりません. つまり A1 A2 A3 A4 は長方形になります.
n≧5 だとどうなんだろ....

お礼

ありがとうございます。
次のように予想しました。

nが偶数のとき。
二つのベクトルの和が0になるものが存在する。
つまり、ちょうど互いに反対方向のベクトルが１組存在する。
それらを消去してn-2の場合に帰着させ、それを繰り返せば、
結局、二つのベクトルの和が0になるものがn/2組存在する。

nが奇数のとき。
二つのベクトルの和が0になるものが存在する場合。
それらを消去してn-2の場合に帰着させる。
二つのベクトルの和が0になるものが存在しない場合。
正n角形の頂点をなす。

それぞれに、図形、ベクトル、三角関数、複素数を用いた証明がありそうに感じます。
また、球面に拡張した問題も考えることができ、ずっと、深そうに感じます。

回答No.1

cafe_au_lait

n=2では、たがいに逆向きになります。
n=3では、正三角形の頂点になります。
n=4以上は、正n角形の頂点とする他にも、n=2とn=3の組み合わせを考えればいくらでもありそうです。