大学の基礎数学の問題なんですが、

質問

ぜんぜんわかりません。
よろしければ、途中計算も含めて教えていただけないでしょうか。

　１　　ｔ時点での生産量と価格をそれぞれXt、Yｔで表す。今、価格に比例して
　　　生産量を増加させるとする。すなわち、（ｄ/ｄｔ）Xｔ＝Yｔ　　とする。
　　　一方、価格は価格自身および生産量に比例して、低下すると予測
　　　される。すなわち、a>0, 　b>a^2 　　として、（d/dt）Yt=-2aYt-bXt
　　　であると予測される。Xt=e^βt*cos(γt)　　がこれらの式を
　　　満たすように、定数β、γをもとめよ。

　２　年利率ｒでの借入金a万円を、ｂ/１２万円の月賦で返済し続け、
　　　T年で完済するとする。ただし、ar<b　　とする。
　　　概算のため問題を連続化すると、等式

　　　ae^rT=∫0～T(be^rt) dt

　　　が得られる。この等式より、Tを（a,b,r）であらわせ。

　　　次にa=1000, b=60 , r=0.05のとき返済金の
　　　形式的総額bTを概算せよ。
　　　概算には、log2～9/13, log3～14/13,
log5～21/13を用いよ。

　　　　よろしくお願いします。

回答No.1

sanori

１つ目

添え字のｔが邪魔なので、省略して書かせていただきます。

（あ）ｄＸ／ｄｔ　＝　Ｙ
（い）ｄＹ／ｄｔ　＝　－２ａＹ　－　ｂＸ
（う）Ｘ＝ｅ^（βｔ）・cos（γｔ）

（う）をｔで微分すると、
ｄＸ／ｄｔ　＝　βｅ^（βｔ）・cos（γｔ）　＋　ｅ^（βｔ）・γ（－sin（γｔ））
　＝　ｅ^（βｔ）・（β　－　γsin（γｔ）
これを（あ）に代入して、
Ｙ　＝　ｅ^（βｔ）・（β　－　γsin（γｔ））　…（え）
両辺をｔで微分して
ｄＹ／ｄｔ　＝　βｅ^（βｔ）・（β　－　γsin（γｔ））　＋　ｅ^（βｔ）・（－γ^2cos（γｔ））
　＝　ｅ^（βｔ）・（β^2　－　βγsin（γｔ）　－　γ^2cos（γｔ））　…（お）

そして、（え）と（お）を（い）に代入します。

２つ目

ｂｅ^(rt)　の不定積分は簡単で、
∫ｂｅ^(rt)ｄｔ　＝　ｂ∫ｅ^(rt)ｄｔ　＝　ｂ／ｒ・ｅ^(rt)　＋　積分定数
です。
ですから０からＴまでの定積分は、
ｂ／ｒ・ｅ^(rT)　－　ｂ／ｒ × １
ですよね。
これが式の右辺になるわけです。

お礼

回答ありがとうございました。

なかなか理解できない問題が多いので、
度々質問をすることがあるかと思いますが、
その時はよろしくお願いします。