二項定理の応用が解けなくて困っています

質問

以下に書く問題の答えを教えてください！

a^0=1, a^1=a, a^n=a(a-1)…(a-n+1), n>1とする。以下の等式を証明しなさい。

n n
　　　(a+b)^n=Σ( )a^k・b^(n-k)
k=1 k

どうか助けて下さい。お願いします。

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

stomachmanさんの証明はaの階乗を使っているのでa,bが自然数の場合にしか
使えませんが、 a^nの定義は a,bが任意の実数（または複素数）の場合でも
意味を持つので、証明はその場合でも通用するようにしなくてはいけません。
もちろんこの公式はa,bが一般の複素数の場合でも成立します。

なお記号^を使うとどうしても巾の様に見えてしまうので、この演算の記号として
ここでは^の代わりに@を使うことにします。また総和記号に上つき下つき文字を
書くのはここでは面倒なので 変数kについて1からnまでの総和をとることを \sum_{k=1}^{n}と書きます。

この手の問題を証明するのはやはり帰納法が一番オーソドックスです。
n=1の場合は両辺ともa+bになりますね。そして一般の場合は

(a+b-n) \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a@k)(b@(n-k))
　　　　　　= \sum_{k=0}^{n+1} a@k b@(n+1-k) 　　　　　　…(*)

を証明できればよいですね。

まず次の公式を用意します。これらは定義から直接示せるので証明はしません。
また最後の公式は二項定理に関連してどんな本にも載っているはずです。
(a-k)×a@k = a@(k+1)
(b-n+k)×b@(n-k) = b@(n-k+1)
b@(n-k) = b@((n+1)-(k+1))
nCk + nC(k+1) = (n+1)C(k+1)

さて(*)を証明します。

(a+b-n) \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a@k)(b@(n-k))　　　　　　　　　　…(1)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a+b-n) (a@k)(b@(n-k))　　　　　　　　　…(2)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk){(a-k)+(b-n+k)} (a@k)(b@(n-k))　　　　　…(3)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk){(a@(k+1))(b@(n-k)) + (a@k)(b@(n-k+1))}　　　　　…(4)

= (nC0)(a@0)b@(n+1)
　　　+ \sum_{k=0}^{n-1} (a@(k+1))(b@(n-k)){nCk + nC(k+1)}
　　　　　　　　　　　　　 + (nCn)(a@(n+1))(b@0)　　　　　　　…(5)

= ((n+1)C0)(a@0)b@(n+1)
　　　+ \sum_{k=0}^{n-1} (a@(k+1))(b@((n+1)-(k+1))) (n+1)C(k+1)
　　　　　　　　　　　　　 + ((n+1)C(n+1))(a@(n+1))(b@0)　　　　　　　…(6)

= \sum_{k=0}^{n+1} a@k b@(n+1-k)　　　　　　　　　　　　　　　…(7)

以上ですがかなり急いで書いたので計算間違いなどあるかも知れません。
もともとこの掲示版は数式をきれいに書けるようなものではないので
人の回答を鵜呑みにせず、必ず自分のノートにきちんとした記号で
書き写して計算をチェックして下さい。

お礼

解答をありがとうございました。
二つの解答を参考にして自分なりの解答を作っていきたいと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.5

stomachman

stomachmanです。

oodaiko先生　< なるほど仰る通りですネ。 f(^^;;

　oodaiko先生は、nが非負の整数、aが負の整数の場合には
a^n=a(a-1)…(a-n+1)
は定義されるけど
n! aCn = a!/(a-n)!
は!をどう解釈したって右辺のa!, (a-n)!が定義されないという事を仰っています。だから
(a+b)Cn= Σ(aC(k))(bC(n-k)) （Σはk=0,....,n）--- (1'')
もダメ。Γ関数なんてイイノガレもΓ(n)はn=0,-1,-2...が極ですから値が定義されなくてダメ。負整数のn!を定義してもいいけどその場合も(1'')の証明をやり直さなくちゃダメ。
　逆に言えば、aCn = a@n / n!と定義しなおせば恒等式(1'')が成り立つことを、oodaiko先生の証明が示しています。
　この証明を見た上で
　(a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) （Σはk=1,....,n）--- (1)
に戻って考えますと、gachapinさんのご質問のタイトル通り、これはまさしく一般化された二項展開に他ならない。a,bは普通の数である必要はないし、演算+,×も普通の和や積である必要はなく可換環Aなら良い。（ただしnCkの中身とn-kの所は普通の数の計算。）そして冪^も
a^0 = I (単位元)、a^n = f(a,n)×{a^(n-1)}
f: A×N → A、f(a,n)+f(b,m)=f(a+b,n+m)
という形なら何でもアリ。こういう風に冪が一般化できるとは面白いですね。

回答No.4

oodaiko

stomachmanさん<
>a! = Γ(a+1)
>で何の不都合も無いと思いますヨ
ということはaを一般の複素数としたときは
a@n = Γ(a+1)/Γ(a-n+1)
と解釈するのでしょうか。

でもgachapin さんの定義ではすべての複素数 a と自然数 n
に対して a@n が定義でき、しかも有限な絶対値を持つのに
この解釈だと a+1が0か負の整数の時は不確定になってしまいますね。

そして、証明すべき式でも、
例えば a+b が -1以下の整数で、かつ aとbが整数でない場合に
右辺は有限値で確定しますが、左辺は不確定になります。
それとも私の解釈が間違っているのでしょうか。

あと私の証明ですが、(4)から(5)への式変形が分かりにくいと思うので補足します。
(4)式で中括弧の部分を展開すると

\sum_{k=0}^{n} {(nCk)(a@(k+1))(b@(n-k)) + (nCk)(a@k)(b@(n-k+1))}　

となります。ここでkについての第１項（　(nCk)(a@(k+1))(b@(n-k))　の部分）
と k+1についての第２項（　(nCk)(a@k)(b@(n-k+1)　の部分）を k=0からk=n-1
まで足したものが (5)式の第２項です。
あとは k= 0のときの第２項とk=n の第１項が残りますが、
それが(5)式の第１項と第３項です。

回答No.3

stomachman

oodaikoさん<
うーん....お言葉ですけど、aが自然数でなくても
a! = Γ(a+1)
で何の不都合も無いと思いますヨ。

回答No.1

stomachman

●半角使ったのかスペースがずれちゃってるけど、
(a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) （Σはk=1,....,n）--- (1)
という意味かな。ここにnCk = n!/k!/(n-k)!
つまりa^k = a!/(a-k)! = k! (aCk)という意味。

●まず、これ、n=1で成り立ちますか？
(a+b) = Σ(1Ck) (a^k) (b^(1-k)) =(1C1) (a^1) (b^(1-1)) =a。
だめじゃん。

●どうやらΣはk=0～nまで取らなきゃいけないようです。
(a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) （Σはk=0,....,n）--- (1')
これを整理すると、
n!((a+b)Cn) = Σ(n!/k!/(n-k)!) k!(aCk) (n-k)!(bC(n-k))
よって、
(a+b)Cn= Σ(aC(k))(bC(n-k)) （Σはk=0,....,n）--- (1'')
これは公式
(n+m)Cp = Σ(nCr)(mC(p-r)) (Σはr=0,....,p)
にドンぴしゃ。
Q.E.D.
で宜しいかな？問題間違えぬようにお願いしますよぉ～(^^;

お礼

解答をありがとうございました！とても助かりました！！
これでなんとかなります！本当に助かりました！！
問題を間違えちゃってすみません。。。
次回は間違えないように気をつけます。
本当にありがとうございました！！