双曲線の問題です＞＿＜ あと、問題書き間違えてました＞＿＜！！

質問

双曲線ｘ＾２－２ｙ＾２＝１に直線ｘ＝２上の任意の一点から、二本の接線を引く時、その２接点を結ぶ直線は定点を通る事を示せ

＜教科書の解答＞
直線ｘ＝２上の点　P（２．ｂ）から双曲線へ引いた接線の接点をQ（ｘ０、ｙ０）R(ｘ１、ｙ１）とすると、
２接線の方程式は、
ｘ０ｘ－２ｙ０ｙ＝１、ｘ１ｘ－２ｙ１ｙ＝１。
これが点Pを通る事より、
２ｘ０－２ｂｙ０＝１　２ｘ１－２ｂｙ１＝１。

一方、ＱＲの方程式は
ｙ－ｙ０＝（ｙ０－ｙ１）/(ｘ０－ｘ１）
×（ｘ－ｘ０）　（２）

ここで（１）より、（ｙ０－ｙ１）/（ｘ０－ｘ１）＝1/bであるから、（２）は　ｙ－ｙ０＝１/b(ｘ－ｘ０）

∴ｙ＝(1/b)x-(1/b)x0+y0=(1/b)x-1/2b=(1/b)(x-1/2)
となり、定点（1/2,0)を通る。

質問です！（１）の式を作るまではわかったのですけど、”一方ＱＲの方程式は～”っていう部分の式が
どのようにして出来たのか解りません＞＿＜
（２）の式のことです。

（２）の式を見ると、ｙ－ｙ０＝（ｙ０－ｙ１）/(ｘ０－ｘ１）×（ｘ－ｘ０）となってるので、
（ｘ－ｘ０）がｙ０－ｙ１/ｘ０－ｘ１に掛かっているので、もともと左辺にあったもの？と考えたら、

（ｙ－ｙ０）/（ｘ－ｘ０）＝（ｙ０－ｙ１）/(ｘ０－ｘ１）という風に式を変形してみて考えても、
元々どのような式から生まれてきたのか解りません！

あと、二つ目の質問は、”ここで（１）より～（ｙ０－ｙ１）/（ｘ０－ｘ１）　＝1/bという部分です。
（１）をどのようにしたら、このようになるのですか？？＞＿＜？？？？？

誰か教えてください
よろしくお願いします＞＿＜

回答No.4

oyaoya65 · ベストアンサー

#2です。

＞”ＱＲ上に■の任意の点（ｘ、ｙ）があるということ～”って書いてあったのですけど、
この時の”任意の点（ｘ、ｙ）”って何ですか？？

直線ＱＲ上なら、どこの位置にあってもよい点ですね。つまり、直線ＱＲ上の点の代表としての点であって、直線ＱＲ上以外の何の条件（束縛）もない点を意味します。
言い換えれば、この任意の点について導かれる性質は、直線ＰＱ上のすべての点について成り立つ性質というわけです。
例えば、この任意の点（x,y）のx座標とy座標との間に成り立つ関係は、直線ＰＱ上の点のすべてについて成り立ちますから、この点の軌跡は直線ＰＱを表すというわけです。つまり、直線ＰＱのグラフの式そのものというわけです。

任意の点（x,y）という表現は数学では頻繁に使われる、便利な表現です。

＞問題に書いてある、直線ｘ＝２上の任意の１点から～ってかいてあるので、このことですか！？＞＿＜？？
この任意とはまた別です。この任意は、直線Ｘ＝２上という制限条件以外は、自由に位置を決めてよい1つの点ということですね。

＞それとも、ＱＲがあって、これは直線ですけど
この直線上にある定点のことですか？？？

定点は固定した点です。
任意の点は仮には固定しますが、それは制限条件を満たしていればどこにとってもよい点ですね。
（誰かここを掃除して置いてください。この誰かは、掃除を頼む人が、その周囲にいる人の誰でもやってくれる人がいればその可能性のある代表となる人にたのむわけです。ところが、○○さん、ここを掃除して置いてくださいと言った場合は掃除を頼まれる人は固定されますね。任意の点と定点の表現の違いはこのような違いですね。掃除をした人にはご褒美を上げますと入った場合、ご褒美をもらえる対象は、任意の人に依頼した場合はすべての人が対象になります。定点についていえることが他の点については適用できませんが、任意の点であれば、任意の点の制限条件を満たすすべての点に適用できることになる訳ですね。）

＞それとも、ＱＲがあって、これは直線ですけど
この直線上にある定点のことですか？？？

定点（位置が決まっている固定点）と任意の点の意味は全然意味が違いますね。

＞問題では、２接点を結ぶ直線は”定点を通る”ことを示せと書いてあるので、直線Ｘ＝２上どこでも点を打って
＞そこから、接線を双曲線に向かって引いた時に
必ず、”ある定点を通る”という意味だと思いましたので、
＞■の任意の点（ｘ、ｙ）＝問題の答え、つまり定点
でＯＫですか！？＞＿＜

全くの間違いですね。
数学での「任意の」という表現は、よく使われる便利な表現ですが、その意味を正しく理解しないといけませんね。

数学ではこの「任意の（英語のAnyに対応）」という言葉は、頻繁に出て来ます。上記に、色々例やたとえ話の説明をあげましたが、すべての定点について成り立つことを証明する代わりに、任意の点について成り立つことを証明すれば、すべての点について証明されたことになる訳です。
色々な問題にあたって、「任意の」という言葉になれることで、この意味が身につくかと思います。

回答No.3

mister_moonlight

次の知識があれば、至極簡単です。
大学入試でも結構出てますから、証明は自分で調べてください。

双曲線：(x/a)＾2-(y/b)＾2＝1へ外部にある点Ｐ(α、β)から２本の接線を引くとき、その2つの接点を通る直線Ｌは(αx)/(a＾2)-(βy)/(b＾2)＝1で求められる。
この時、直線Ｌを極線、点Ｐを極という。

これを、この問題に当てはめます。
点(2、α)とすると、2接点を結ぶ直線は2x－2αy＝1。
この式が任意のαに対して成立するから、y＝0、x＝1/2.
即ち、定点(1/2、0)を通る。

回答No.2

oyaoya65

すでにA#1の方が解答されて見えますので、前半の質問の考え方だけについて、

（ｙ－ｙ０）/（ｘ－ｘ０）＝（ｙ０－ｙ１）/(ｘ０－ｘ１）

この式を図を書いてよく眺めてみてください。
図は点Ｑ（ｘ０，ｙ０）から点Ｒ（ｘ１，ｙ１）に向かって描きます。この線分の傾き（傾斜）が上式の右辺ですね。

次に、同じ点（ｘ０，ｙ０）から任意の点（ｘ，ｙ）■に向かって引いた直線の傾き（傾斜）が上式の左辺ですね。
この左辺と右辺が等しいということは、同じ点Ｑ（ｘ０，ｙ０）を通って傾きが同じ直線になっている、
つまり、直線ＱＲ上に、■の任意の点（ｘ，ｙ）があるということです。
これは、■の任意の点（ｘ，ｙ）の軌跡が、上式だということ、つまり、直線ＱＲの式になっていることに他ならないとう言うことですね。

補足

返事かいて頂いてありがとうございます！！
一つわからなかった部分があるのですけど、
”ＱＲ上に■の任意の点（ｘ、ｙ）があるということ～”って書いてあったのですけど、
この時の”任意の点（ｘ、ｙ）”って何ですか？？

問題に書いてある、直線ｘ＝２上の任意の１点から～ってかいてあるので、このことですか！？＞＿＜？？

それとも、ＱＲがあって、これは直線ですけど
この直線上にある定点のことですか？？？

問題では、２接点を結ぶ直線は”定点を通る”ことを示せと書いてあるので、直線Ｘ＝２上どこでも点を打って
そこから、接線を双曲線に向かって引いた時に
必ず、”ある定点を通る”という意味だと思いましたので、
■の任意の点（ｘ、ｙ）＝問題の答え、つまり定点
でＯＫですか！？＞＿＜
間違ってたらごめんなさい＞＿＜！

回答No.1

debut

（２）の式は、２点Ｐ（ｘ0、ｙ0）、Ｑ（ｘ1、ｙ1）を通る直線の公式
　で求めています。というか、公式そのものです。
　＜公式＞　ｙ－ｙ0＝(ｙ0－ｙ1)/(ｘ0－ｘ1)×(ｘ－ｘ0)
　例えば、２点（１，２）、（５，６）を通る直線は、公式で、
　　　　　ｙ－２＝(２－６)/(１－５)×(ｘ－１)　として求めます。
　　　　　（中学の頃は連立方程式でした）

　（１）より～　の部分。
　　これは、（１）の式はどちらも１で等しいので、２つの式の左辺同士
　　を＝でつないで、
　　　　２ｘ０－２ｂｙ０＝２ｘ１－２ｂｙ１
　　２で割って
　　　　ｘ０－ｂｙ０＝ｘ１－ｂｙ１
　　移項して整理すると、
　　　　ｘ０－ｘ１＝ｂ(ｙ０－ｙ１)
　　両辺をｂで割って、→ｘ０－ｘ１で割って　とすれば出てきます。

これを書いているうちに、前の質問が締め切られてました。

お礼

いつも返事書いていただいて本当にありがとうございます！！　題意を間違えてかいてしまって、ごめんなさい＞＿＜。　あと、計算方法を教えてくれて本当にありがとうございました！！！！　やっとわかりました＞＿＜
どうもありがとうございました！！！！