双曲線の問題

質問

直角双曲線ではないx^2/a^2-y^2/b^2=1上の点Ｐから二つの漸近線に垂線を下ろし、交点をそれぞれ点Ｑ、点Ｒとする。
ＰＱ×ＰＲが一定であることを示せ。

答えをなくしてしまったので、考え方を含めて教えて頂けると嬉しいです。
お願いします。

回答No.1

spring135

漸近線は
x^2/a^2-y^2/b^2=0
とおいて
ay-bx=0 　(1)
ay+bx=0　 (2)

P(p,q)とし、漸近線(1)への垂線の交点をＱ、漸近線(2)への垂線の交点をＲとする。

点と直線との距離の公式より

PQ=｜aq-bp｜/√(a^2+b^2)
PR=｜aq+bp｜/√(a^2+b^2)

PQ*PR=｜a^2q^2-b^2p^2｜/(a^2+b^2)
Pがx^2/a^2-y^2/b^2=1上にあることから

p^2/a^2-q^2/b^2=1

よって

b^2p^2-a^2q^2=a^2b^2

よって

PQ*PR=a^2b^2/(a^2+b^2)

お礼

有り難うございました。