双曲線の問題

質問

高校生のものです。
双曲線(x-3)^2/6 - y^2/3 = 1　上の任意の点P(x、y)から直線x=aに垂線PHを下ろす。
原点をOとしてk=OP/PHとおく。kが一定になるようなaを求めよ。
またそのときのkを求めよ。

僕はk=OP/PH　ならばk^2PH^2=OP^2だからk^2(x-a)^2=x^2+y^2とおきました。
しかしここからどうしたらkの値が一定になるようなaを求めていくのかわかりません。
どうやって解いたらいいでしょうか？
ちなみに答えはa=1,k=√6/2でした。問題集に解説がないので・・・

回答No.2

take_5

書き込みミス。。。。。いつものことだが。。。笑

＞（2k＾2-3）x^2-2（k＾2*a+3）x＋（2*k＾2*a＾2-3）＝0。　これが任意の実数xに対して成立するから、2k＾2-3＝0、k＾2*a+3＝0、2*k＾2*a＾2-3＝0.

　　　　　　　　　　↓

（2k＾2-3）x^2-2（2*k＾2*a-3）x＋（2*k＾2*a＾2-3）＝0。
これが任意の実数xに対して成立するから、2k＾2-3＝0、2*k＾2*a-3＝0、2*k＾2*a＾2-3＝0.

回答No.1

take_5

その方針で行くなら。

条件から、2y^2＝(x-3)^2-6であるから、k^2(x-a)^2＝x^2+y^2に代入して整理すると、（2k＾2-3）x^2-2（k＾2*a+3）x＋（2*k＾2*a＾2-3）＝0。
これが任意の実数xに対して成立するから、2k＾2-3＝0、k＾2*a+3＝0、2*k＾2*a＾2-3＝0.
これらを連立して解くと、k＞0より　a=1、k=√6/2。