双曲線関数の証明問題

質問

x^2-y^2=1を満たす任意の(x,y)について、(x,y)=(cosht,sinht)
または(x,y)=(-cosht,sinht)となるt∈Rが存在することを示せ。

という問題です。解答として不備があるでしょうか。
指摘していただけたらありがたいです。よろしくお願いします。

y=sinhtとなるtを定める。
x^2=y^2+1より、
x^2=1+sinh^2t=cosh^2tより、
x=±cosht
よって、、(x,y)=(cosht,sinht)
または(x,y)=(-cosht,sinht)となるtが存在する。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

＞　y = sinh t となる t を定める。

sinh が全実数を値域にとるから、
任意の y に対して t を定めることができる。
このことは、書いておかなければいけない。←(＊)

＞　x^2 = y^2 + 1 より、
＞　x^2 = 1 + sinh^2 t = cosh^2 t より、
＞　x = ±cosh t

この式変形で、x^2 = y^2 + 1 となる x は
x = cosh t または x = -cosh t しかないことが言えたので、
その x に対して (x, y) = (cosh t, sinh t) または
(x, y) = (-cosh t, sinh t) と書ける。
すなわち、題意が示されたことになる。

…という訳で、(＊)の部分を補えば完成なのだが、
一見して、解ってんだか解ってないんだかハッキリしない
印象の証明になってしまっているのは、何故だろう？
式変形をヅラヅラ並べるだけでなく、
その式変形から何が言えるのかを
文章でちゃんと書いたほうがよいのだろうと思う。

回答No.2

Tacosan

最初からダメ.
「y = sinh t となる t を定める」とあるけど, そのような t がなぜ存在するのですか?