双曲線をからめた極限値

質問

極限値の問題で解決の糸口が見つからなくて、悩んでいます。

lim(x→0)(1-cosx)/(e^x + e^-x -2)
の極限値の求め方です。

変形すると

lim(x→0)(2cos^2 x/2)/(2sinh^2 x/2)

になりそうなので、この先になにか良い解決方法があるのか、
それとも間違った方向なのかもわかっていません。

(ちなみに、正解はついていません)

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

ロピタルの定理を2回適用すると，
lim[x->0] (1-cosx)/(e^x+e^(-x)-2)
= lim[x->0] sinx/(e^x-e^(-x))
= lim[x->0] cosx/(e^x+e^(-x))
= 1/2．

お礼

手際のいい解決方法に感激しました。

回答No.3

zk43

テイラー展開を使うと、
1-cosx=x^2/2!-x^4/4!+・・・
e^x+e^(-x)-2=2(x^2/2!+x^4/4!+・・・)
になるので、
分子・分母をx^2で割ってx→0とすると、極限値は1/2になりますね。

テイラー展開はやってませんか・・・
本質的にはロピタルの定理と同じことをやっていると思いますけど、
御参考に。

回答No.2

info22

ロピタルの定理つまり
いわゆる0/0型ですので分子・分母を0/0型から脱するまで微分して行けば極限値が求まります。
lim(x→0)(1-cosx)/(e^x + e^-x -2)
=lim(x→0)sinx/(e^x-e^(-x))
=lim(x→0)cosx/(e^x+e^(-x))
=1/2
タッチの差でA＃１さんに先を越されました。解答は同じです。