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べき級数の収束半径
べき級数の収束半径 べき級数Σ{((-1)^n/(2n+1)!)*z^(2n+1)} (n=0→∞) の収束半径を求める問題なのですが… このべき級数がsinzに等しいことはわかるのですが、収束半径の求め方はわかりません。 できればCauthy-Hadamardの定理を用いて解きたいと思うのですが… 回答よろしくお願いします。
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Cauchy-Hadamard の定理を使う方, 間違ってるよ.... 「係数が 0 に収束する」ことだけなら, わざわざ (2n+1)! ≧ n^(n/2) なんて不等式は使いませんがな. n乗根することがわかってるからこそ, 「何かの n乗」の形を作ってるのに.
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- Tacosan
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細かいことをいうともうちょっと (limsup がど～たらって話が) あるけどそんな感じ.
お礼
回答ありがとうございます。 きちんと定義に戻って細かいことにも目を向けて頑張ります！ ご指導ありがとうございました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
よく見てみたら Cauthy じゃなくて Cauchy だよね? で, #1 に挙げた (2n+1)! ≧ n^(n/2) を使って収束半径が求まることは, Cauchy-Hadamard の定理を理解できていればわかるはず. 1/(2n+1)! ≦ 1/n^(n/2) = (1/√n)^n だから. 「どういう意味」って聞かれても困るんだけど, 左辺に n 以上の値がどれだけあるか数えればこの不等式そのものはすぐだと思う. でも, a_n を z^n の係数としたときに, lim(n→∞) |a_n/a_(n+1)| が (存在すれば) 収束半径を与えるってのはやらないものかねぇ.
お礼
回答ありがとうございます。 Cauchy-Hadamard の定理をもう一度よく見てみると納得できました。 a_n を z^n の係数としたときに, lim(n→∞) |a_n/a_(n+1)| が (存在すれば) 収束半径を与える そういえばこれは解析の授業で習いました… 今回は幾何でこの問題が出て、幾何ではCauchy-Hadamard の定理しかやらなかったものでCauchy-Hadamard の定理にこだわってみたのですが… とりあえず、なんとか解決できそうです。 回答ありがとうございました。
補足
解いてみたのですが… 1/(2n+1)! ≦ 1/n^(n/2) = (1/√n)^n これを用いると、 (1/√n)^n →0 (n→∞) より、 1/(2n+1)! →0 (n→∞) よって、収束半径=∞ lim(n→∞) |a_n/a_(n+1)| これを用いた場合は、 lim(2(n+1)+1)!/(2n+1)!=lim(2n+3)(2n+2)=∞ よって、収束半径=∞ このように答えようと思うのですが…いいですかね??
- Tacosan
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いろんな方法があるんだから, 他の方法でできるならあえて Cauthy-Hadamard の定理にこだわる必要はないと思う. まあ, こだわるにしても素直に突っ込むだけだけど. (2n+1)! ≧ n^(n/2) だよね.
お礼
回答ありがとうございます。 Cauthy-Hadamard の定理にこだわっているというか…それ以外の求め方がよくわからないというか知らないというか…(-_-;) 他の方法があってそのほうが簡単なら聞いてみたいです！ (2n+1)! ≧ n^(n/2) これはどういう意味でしょうか?? どうしてこの関係が成り立つのですか?? これを使うと解けるのですか?? もう少し詳しくご教授して下さると助かります<(_ _)>
お礼
回答ありがとうございます。 もう一度考え直してみました！ 1/(2n+1)! ≦ 1/n^(n/2) = (1/√n)^n よって、 (1/(2n+1)!)^(1/n) ≦ ((1/√n)^n)^(1/n)=1/√n 1/√n→0 (n→∞)より、 (1/(2n+1)!)^(1/n)→0 (n→∞) ゆえに、 （収束半径）＝∞ 今度は大丈夫でしょうか??