級数の収束について

質問

級数の収束について、
全てのnに対してan≧0であり、部分和Sn=Σ[k=1, n]ak が上に有界ならば級数Σ[n=1, ∞]an は収束する。
という定理がありますが、上に有界とはどういうことですか？

回答No.6

statecollege · ベストアンサー

＞k^2 + 1 < k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2
はわかるのですが、(k+1)^2というのは定例的なものなのでしょうか。k^2 + 1より大きいってわかるものだったら(k+1)^2以外でもいいのでは？と思いました。でも、単純に考えたらこれが一番わかりやすい形だからこの式になるということであっていますか？

上に有界であること、つまりSn<Mであることを示すことが目的なのです。これを成立させるMを見つけられるなら、Mは１でなくてもかまわない。事実、Sn＜１を示すことができたということは、Sn<2も、Sn<131も成立する、ということです。これらを示すことができるなら、それでもかまわないのですが、簡単に見つかりますか？たとえば、k^2+1より大きいものはいくらでもある。k^2+2, k^3+1,(k+1)^3,...。しかし、これらではうまくいかないことはトライしてみればすぐわかります。k^2 + 1 < (k+1)^2を利用する（あるいはこの関係に気づく）ということはこの問題のキーです。

お礼

ありがとうございます！
なんで(k+1)^2なんだ？と思っていましたが、これ以外だとすごい大変ですね。よくわかりました。

回答No.5

statecollege

No.4ですが、

＞例で与えられた部分和が有界であるのは、すべてのn≧１にたいして
　　Sn < 1
が示されたからだ。Snはnとともにどんどん大きくなるが、決して１を超えることはない、つまり、Snは１という上限（上界、upper limit)がある（上に有界である）。
と書いたが、以下のように修正してください。
例で与えられた部分和が上に有界であるのは、すべてのn≧１にたいして
　　Sn < 1
が示されたからだ。部分和Snはnとともにどんどん大きくなるが、決して１を超えることはない、つまり、部分和Snは１という上限（正確には上界、upper bound)があって、上に有界なのだ。

英語では「上に有界である」ことをbounded aboveといい、上界のことをupper bound といいます。上界のなかで、一番小さい上界をleast upper bound（LUB）あるいはsupといい、日本語で「上限」といいます。例題の部分和は上に有界ですが、この部分和のLUBは１で、かつ１に収束することは説明の要はないでしょう。

回答No.4

statecollege

回答１および２ですが、例で与えられた部分和が有界であるのは、すべてのn≧１にたいして
　　Sn < 1
が示されたからだ。Snはnとともにどんどん大きくなるが、決して１を超えることはない、つまり、Snは１という上限（上界、upper limit)がある（上に有界である）。キーとなるのは不等式

Σ（k=1, n) [1/k^2 - 1/(k^2 + 1)] < Σ(k=1,n)[1/k^2 - 1/(k+1)^2]

が成り立つことだが、どうしてこの不等式が成り立つかおわかりですよね！それはもちろんすべてのk ≧1にたいして

k^2 + 1 < k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2

が成り立つからだ。これがわかると、あとは上の不等式の右辺を展開して

Σ(k=1,n)[1/k^2 - 1/(k+1)^2]
= (1 /1 - 1/4) +(1/4 -1/25) + (1/25 - 1/36) + ・・・+ (1/n^2 - 1/(n+1)^2)
= 1 - 1/(n+1)^2
< 1
に注意すればよい。

補足

ありがとうございます。
k^2 + 1 < k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2
はわかるのですが、(k+1)^2というのは定例的なものなのでしょうか。k^2 + 1より大きいってわかるものだったら(k+1)^2以外でもいいのでは？と思いました。でも、単純に考えたらこれが一番わかりやすい形だからこの式になるということであっていますか？

回答No.3

trytobe

この場合なら、「どれだけ足していっても、越えられない数値ラインが上に有る」ということです。つまり、上限があるので、その壁が限界となってしまうから、収束する、ということです。

補足

回答ありがとうございます。
イメージは掴めているのですが、具体的にはよくわかりません。例を示したのでよかったらそちらにも目を通して詳しく説明していただけると嬉しいです。

回答No.2

statecollege

回答No1ですが、誤解を招くといけないので、私の回答の中にある

>この定理により、部分和Snは定義によって単調増加なので、級数Σ[n,∞]anは収束するのです。
を
この定理により、部分和Snは定義によって単調増加なので、Snが上に有界ならば級数Σ[n,∞]anは収束するのです。
と訂正してください。つまり、「Snが上に有界ならば」を付け加えてください。
なお、「数列anが単調減少数列で、下に有界ならば、anは収束する」という命題ももちろん成り立つます。「上に有界」という意味がわかったからには、「下に有界」の定義はあらためて説明する必要はないですよね。

補足

詳しい説明ありがとうございます。
具体例を写真で示しましたのでそちらにも目を通して回答いただければ嬉しいです。

回答No.1

statecollege

Snが有界とは、すべてのnに対して
　　　 Sn ≦ M
となる有限のM＞０が存在することです。
なお、数列anが単調増加数列で、かつ上に有界ならば、anは収束するという定理があります。この定理により、部分和Snは定義によって単調増加なので、級数Σ[n,∞]anは収束するのです。