線形独立、線形従属の問題

質問

線形独立と線形従属に関する問題です

Vの元の組ｖ₁，・・・，ｖn　が線形独立であっても、もうひとつ別の　ｖn+₁∊V　を加えた場合、

ｖ₁，・・・，vn，ｖn+₁は線形従属になることがある。V＝R³の場合にそのような例を見つけよ。

という問いです。

大学の授業での問題なのですが、どのように手をつければよいのか全然分からなくて困っています。

答えに至る経緯も含めて回答頂けると助かります！！

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

v(1),v(2),…,v(n) が線型独立、かつ、
v(1),v(2),…,v(n+1) が線型従属であるための
必要十分条件は、
v(n+1) = a(1)v(1) + a(2)v(2) + … + a(n)v(n)
となるスカラー a(1),a(2),…,a(n) が在ることです。

まづ、必要性を示しましょう。
v(1),v(2),…,v(n+1) が一次従属であることより、
c(1)v(1) + c(2)v(2) + … + c(n+1)v(n+1) = 0
となるスカラー c(1),c(2),…,c(n+1) が在りますが、
このとき c(n+1) = 0 だとすると、
c(1)v(1) + c(2)v(2) + … + c(n)v(n) = 0 より
v(1),v(2),…,v(n) が一次従属となり、仮定に反します。
したがって、c(n+1) ≠ 0 です。
a(k) = -c(k)/c(n+1) と置けば完了です。

十分性を確認するのは、簡単と思います。

もともと、線型独立/従属の定義は、
上記の考察に馴染むことを目的に
決められているのです。

あとは、具体的に線型空間 V の例を挙げて、
上記の条件を満たすような
v(1),v(2),…,v(n+1) を作ってみればよいですね。

お礼

ありがとうございます。条件に合わせて具体的に例をあげて作ってみればよいんですね！！やってみます！

回答No.1

OurSQL

例は掃いて捨てるほどあります。
例えば、零ベクトルを加えれば必ず線形従属になります。

お礼

確かにそうですね！！！零ベクトルを加えることを考えてみます！