分数の分解

質問

参考書を使いつつ
積分の問題を解いていたら、途中でこのような式がでてきました。

y = ∫ 1/(2t+1) * 1/t dt
y = ∫ (1/t - 2/(2t+1))dt

一番目の式から２番目の式を求めるにはどのようにしたらよいのでしょうか？
いろいろAとかBという定数をおいてやってみましたが、
わからないです。
何も説明なくこのようにかかれているので
わかれば一瞬でとけるんですかね？

よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

通分するよりも、No.3 の計算方法が、
複雑な式のとき役に立つ。

極が一次でなくても、
例えば分母に (x-a)の2乗がある場合、
分解後の式に +A/(x-a)
+B/(x-a)の2乗
という項を入れておくなどすれば、
同様に処理できる。

記述のしかただが、両辺に (x-b) を掛けた後、
x = b を代入しては、論理的に難がある。
代わりに、x → b の極限をとれば完璧。

お礼

どうもありがとうございます。極限とか使うんですね。。。
複雑な式になったときは難しそうですね。

回答No.3

178-tall

各極が実単根の場合なら、
　1/{(2t+1)t} = A/(2t+1) + B/t　　　…(1)
とおき、単根ごとに処理するのが実戦的。

(1) にて両辺に (2t+1) を掛け、
　1/t = A + (2t+1)B/t
t = -1/2 を代入。
　-2 = A

また、両辺に t を掛け、
　1/(2t+1) = tA/(2t+1) + B
t = 0 を代入。
　1 = B

お礼

どうもありがとうございます。案外単純なんですね。

回答No.2

bgm38489

1/(2t+1)*1/t=1/t(2t+1)
=((2t+1)-2t)/t(2t+1)
=1/ｔ-2/(2t+1)
ですね。(2t+1)-2t=1ということを利用して、通分の逆を行い、二つの分数に分けたわけです。

お礼

どうもありがとうございます。通分の逆は結構難しいですね。

回答No.1

tomokoich

分解後を
A/(2t+1)+B/tとおいて通分すると分子は
At+B(2t+1)=(A+2B)t+Bになりこれが1なので
A+2B=0
B=1
を解くと
A=-2になり分解後は２番目の式になります

お礼

なるほど、係数比較を行っているのですね。わかりやすかったです。どうもありがとうございました。