部分分数分解の方法

質問

中学校では、分母がかけ算で表せる場合、大きい方から小さい方を引いたものが分子になれば、小さい方の数が分子のものから大きい方の数が分子のものを引くように分解できる【1/(2*3)=1/2-1/3】と説明されますが。大学入試で使う2/(1+t)(1-t)=1/(1+t)+1/(1-t)の様なものはどのようにすればいいのでしょうか。一般式（Σ）を使わないで、わかりやすく説明していただけないでしょうか。また、大学入試で使ういろいろなパターンの部分分数分解が知りたいです。たとえば、(b-a)/ab=(1/a)-(1/b)（a<b）または1/ab={1/(b-a)}{(1/a)-(1/b)}（a<b）のように説明してくださるとありがたいです。回答は、上記二つの例以外でわかりやすくお願いします。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

>2/(1+t)(1-t)=1/(1+t)+1/(1-t)

「留数計算」ふうの手法もあります。上例をやってみましょう。

　2/(1+t)(1-t)=R1/(1+t)+R2/(1-t)
とおいて、両辺に(1+t)を掛けると、
　2/(1-t)=R1+R2*(1+t)/(1-t)
になる。
ここで、t=-1 とすれば、
　1=R1
を得る。
(同様にして、R2 を求めてみてください)

回答No.3

kevin23

＃２です。
申し訳ありません。説明が少し間違っていましたね。
2/(1+t)(1-t)ではtが０以上であるかそうでないかによって、(1+t)と(1-t)の大きさが変わりますね。なので、

2/(1+t)(1-t)
=-2/(t+1)(t-1)と変形します。これを公式に当てはめると

-2/2 {1/(t-1)-1/(t+1)}
=-{1/(t-1)-1/(t+1)}
=-1/(t-1)+1/(t+1)
=1/(1-t)+1/(t+1)

となります。ポイントは変数tの符号をあわせておくことですね。

回答No.2

kevin23

公式は1/((大きいほうの数)-（小さいほうの数))｛1/(小さいほうの数)-1/(大きいほうの数)｝
つまり大きいほうの数をb小さいほうの数をaとすると
1/ab=（1/a-1/b）/(b-a)となります
例をいくつかあげます。

たとえば1/（2*3）
まず分母の数の２数を比較すると大きいほうは３で小さいほうは２です。
だから公式にあてはめて
1/(3-2){1/2-1/3}
=1(1/2-1/3)
=1/2-1/3
となります。

他に例をあげると3/28
まず分母は4*7と分解できます。そして公式が使えるのは分子が１の場合だけです。なのでまず1/28を考えます。
大きいほうは７小さいほうは４なので公式に当てはめると
1/(7-4){1/4-1/7}
=1/3(1/4-1/7)
これは1/28を表しているから3/28を求めるために３倍して
3/28=1/4-1/7
となります。

2/(1+t)(1-t)も同じように出来ます。
まず1/(1+t)(1-t) (t>0)について考えます。分母で大きい方は(1+t)小さいほうは(1-t)これを公式に当てはめると
1/(1+t)(1-t)=1/2t {1/(1-t)-1(1+t)}
求めたいのは2/(1+t)(1-t)なので２倍して
2/(1+t)(1-t)=1/t {1/(1-t)-1/(1+t)}

となります。これは1/(1+t)+1/(1-t)と等しい式になります。いくつか変形の種類はあります。確認してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。この回答は私が例としてあげた方法ですね。一番最後の1/t {1/(1-t)-1/(1+t)}からどのようにして1/(1+t)+1/(1-t)とするのでしょうか。回答の最後から６行目のところで、2/(1+t)(1-t)を2/(t+1)(t-1)としておかなければ部分分数分解できないはずなのですが。

回答No.1

noname#21994

2/(1+t)(1-t)を部分分数分解する手順は
2/(1+t)(1-t)=a/(1+t)+b/(1-t)・・・(1)
とし、(1)の両辺に(1+t)(1-t)を（つまりは左辺を簡単にしたいんですけどね）かけます
そうすると
2=a(1-t)+b(1+t)・・・(2)
という形になり
2=a-at+b+btを
2=(-a+b)t+a+b・・・(3)
と変形させます
(3)の式から
-a+b=0・・・(4)
a+b=2・・・(5)
という連立方程式が成り立ちます
これを解くと
a=1,b=1
という値が出てくるので、これを(1)の式に代入すれば部分分数分解のできあがりです!
このやりかたですべて部分分数分解できます

お礼

回答ありがとうございます。これは、教科書に載っている方法ですが、試験中に、回答（教科書）のような方法をしている暇はありませんので、もっと速い公式のようなものかもっと速い考え方を教えていただけるといいのですが。