※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：カタランの予想を解きました）
カタランの予想解法とは？
このQ&Aのポイント
カタランの予想は、ａとｂを自然数、ｘとｙを2以上の自然数とする方程式ａ^{ｘ}－b^{ｙ}＝1の解についての予想です。
カタランの予想を解くためには、ａ＝3、ｂ＝2、ｘ＝2、ｙ＝3の組み合わせが唯一の解であることがわかっています。
カタランの予想を解くためには、(1)式を変形し、(2)式と(3)式を導出する必要があります。
ａとｂを自然数、ｘとｙを2以上の自然数とする時、(1)ａ^{ｘ}－b^{ｙ}＝1の解は、ａ＝3、ｂ＝2、ｘ＝2、ｙ＝3に限る、即ち3^{2}－2^{3}＝1しかないとするのが、カタランの予想です。
(1)を変形して
ａ^{ｘ}－1＝（∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－1※便宜上この様に表す]）＊（a－1）＝b^{ｙ}
∴(2)（∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－1]）＝b^{ｍ}、(3)（a－1）＝b^{ｙ－ｍ}
一般的に
(4)∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－1]＝（∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－2]＊ａ）+1
(5)b^{ｍ}＝∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｍ－1]＊（ｂ－1）+1
である
(2)に(4)と(5)を代入して
(6)（∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－2]＊ａ）+1＝∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｍ－1]＊（ｂ－1）+1＝ b^{ｍ}
(7)∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－2]＊ａ＝∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｍ－1]＊（ｂ－1）
(6)より
（∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－2]＊ａ）+1＝b^{ｍ}
(8)∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－2]＝（b^{ｍ}－1）／ａ＝（1－b^{ｍ}）／（1－（ａ+1））
一般的に、等比数列の和の公式より
∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｍ－1]＝（1－b^{ｍ}）／（1－ｂ）
であるので、ａ+1＝ｂでないと、(8)の左辺は等比数列の和にならない
∴(9)ａ+1＝ｂ (9)を(7)に代入して
∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－2]＊ａ＝∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｍ－1]＊ａ
(10)∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－2]＝∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｍ－1]
(10)が成立するのは
∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－2]＝∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｍ－1]＝1の時のみ ∴ｘ＝2、
(3)（a－1）＝b^{ｙ－ｍ}、(9)ａ+1＝ｂ
（a+1）－（ａ－1）＝2＝ｂ－b^{ｙ－ｍ}
自然数[の累乗]で差が2となるのは、2^{1}＝2と2^{2}＝4、3^{0}＝1と3^{1}＝3のみである
前者の場合、ｂ＝2、ｙ＝3、ａ＝3、ｘ＝2であり3^{2}－2^{3}＝1が解となる
後者の場合、ｂ＝3、ｙ＝1、ａ＝2、ｘ＝2となり、ｙ≠1であるので要件を満たさない
従って、ａ^{ｘ}－b^{ｙ}＝1の解は、3^{2}－2^{3}＝1しかありません
