数列

質問

連続で投稿してしまうことをお許しください

2の倍数でも3の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べてできる数列を
a_1,a_2,a_3,・・・・・,a_n,・・・とする
（１）a_100をもとめる
（２）1003は数列{a_n}の第何項か？
（３）mを自然数とするとき数列{a_n}の初項から第２ｍ項までの和を求めよ。

(1)a_100＝300かしら？適当にやったらうまくいった？
(2)1003-500-334-167=169 169項？（n(2)=500,n(3)=334,n(6)=167）
(3)１から２ｍまでの和から２の倍数の和を引いて、3の倍数の和を引いて6の倍数の和を足す。
2の倍数や3の倍数、6の倍数のシグマの計算式が立てられない。
ｍが3ｋのとき、3k＋1のとき、3k＋2のときで場合分け？

回答No.1

noname#5523 · ベストアンサー

まず、２の倍数ではない事から、奇数の数列である事がわかりますよね？
で次に３の倍数でもない。これを次のような群数列で考えて見ます。
{a_n}：1｜5,7｜11,13｜17,19｜23,25｜…
そうすると、群の数の初めの項は
b_n=3n－1（nが偶数の時）
群の数の２番目の項は
c_n=3n－2（nが奇数の時）
である事が分かります。（群の数と、群の数の初めの項に注目すれば求まります。）

(１)
a_100=b_100=3×100-1=299

(２)
b_n=3n-1=1003
から計算するとnが整数でなくなってしまう。
c_n=3n－2=1003を用いると、
n=335
と求まる。

(３)
まず、m番目までにb_nとc_nが半分ずつある事は分かりますよね？（b_nは偶数番目でc_n奇数番目だから交互にくる）
となると、2m番目までにはb_nとc_nがそれぞれm個存在する。
従って、
Σa_k(k=1～2m)＝Σb_k+Σc_k(k=1～m)
という計算をすれば求まります。

お礼

ホントにごめんなさい。
お礼が大変遅れてしまって申し訳ないです。
ありがとうございました。

回答No.6

BBblue

「２の倍数でも３の倍数でもない」ことから最小公倍数の「６」に注目して自然数を６つずつ並べると楽です。

1 7 13 19 ・・・ 奇数番目の項 6n-5
2 8 14 20 ・・・ （２の倍数）
3 9 15 21 ・・・ （３の倍数）
4 10 16 22 ・・・ （２の倍数）
5 11 17 23 ・・・ 偶数番目の項 6n-1
6 12 18 24 ・・・（両方の倍数）

縦１列６ごとに２つずつの項があることに注目すると、
(1) a_100 は 50列目で
　　6*50 = 300 だから a_100 = 299
(2) 1003 = 6* 167 +1 だから 168 列目の数。
　　167*2+1 = 335 (項)
(3) 奇数番目、偶数番目 それぞれ第ｍ項までの和を更に加える（みなさんと同じ）。

お礼

御礼が大変遅れてしまいましてごめんなさい。
そしてありがとうございました。
参考にさせていただきます。

回答No.5

arukamun

No.2のarukamunです。

(3)の式の途中計算をミスってしまいました。
((1+6m-5)*m/2)+((5+6m-1)*m/2)
=((6m-4)*m/2)+((6m+4)*m/2)
=((6m^2-4m)+(6m^2+4m))/2
=12m^2/2
=6m^2

検算します。

m=1の時、6*1^2=6
a_1+a_2=1+5=6

m=2の時、6*2^2=24
a_1+a_2+a_3+a_4=1+5+7+11=24

m=3の時、6*3^2=54
a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=1+5+7+11+13+17=54

回答No.4

oruka

あ、ミス訂正
(3)最後２で割ってないや(^^;
12m^2ではなく6m^2ですね、すぐ気づくとは思いますが、、

　失礼しました。

回答No.3

oruka

おはようございます。

いろんな解き方がありますが、特に(3)の設問からみて

「2の倍数でも3の倍数でもない」⇔
「6で割った余りが1or5」⇔
「6k-5 or 6k-1(kは自然数)と表せる」
と考えていくのが自然かと思います。
群数列を用いて表現すれば
1,5|7,11|,,,,|6k-5,6k-1|
（第ｋ群がちょうど6k-5,6k-1となる）

以上をふまえれば、
(1)第100項目は第50群の末項だから
k=50における6k-1を求めればよく、299となる

(2)1003は6で割ると167余り1だから
第168群の1項目とわかる
従って167×2+1=335　、第335項目となる

(3)2m項までとはすなわち第m群までの和を求めればよいから
(k=1～m)Σ{(6k-5)+(6k-1)}
=(k=1～m)Σ(12k-6)
=12×m(m+1)/2-6m
=12m^2+6m
　となります

注：ONEONEさんの方針
　　「１から２ｍまでの和から２の倍数の和を引いて、
　　　3の倍数の和を引いて6の倍数の和を足す。」
　　は「１から２ｍまでの和」ではなく
　　　「1から第2m項＝第ｍ群２項目＝6m-1までの和」
としなければいけません。
　　以下同様に
1から6m-1までに含まれる2,3,6の倍数の和を求め、
　　それらを用いて計算すれば正解が得られますね。

お礼

御礼が遅れてしまいましてたいへん申し訳ありません。
ありがとうございました。
参考にさせていただきます。

回答No.2

arukamun

こんばんは

a_1=1
a_2=5
a_3=7
a_4=11
a_5=13
a_6=17
a_7=19
a_8=23
a_9=25
a_10=29
a_11=31
...
nが奇数の時はa_n=3n-2
nが偶数の時はa_n=3n-1
といった一般項が求まりますね。

(1) a_100=299
(2) 1003=(1003+2)/3=335　a_335=1003
(3) 奇数と偶数で場合分けすれば良いですね。
初項1公差6のm項までの和と初項5公差6のm項までの和の和ですね。
((1+6m-5)*m/2)+((5+6m-1)*m/2)
=((6m-4)*m/2)+((6m-4)*m/2)
=(6m-4)*m
=2m(3m-2)

お礼

お礼が大変遅れてしまってごめんさい
a_9=25 を抜かしてしまっていました。
途中から「素数なのか」と思い込みそんで規則性がわからなくなってしまっていたのです。
ありがとうございました。