数列の問題を教えてください

質問

数列が苦手で、解法が分かりません。
下記の問題の解答を教えてください。
お願いします。

１．n を自然数とする。
　　３^n のすべての正の約数の和が３２８０になるときの n を求めよ。

　　≪答：７≫

２．-1<a<0<b とする。
　　３数 -1,a,b は適当な順に並べると等差数列になる。
　　また、ある順に並べると等比数列にもなる。　
　　このときの a,b を求めよ。

　　≪答：a=-1/4, b=1/2≫

３．３ケタの正の奇数の２乗の和を求めよ。

　　≪答：166499850≫

よろしくお願いします。

回答No.2

gohtraw

１．３＾ｎの正の≒数の総和は
Σ３＾ｋ＝１＋３＋・・・・＋３＾ｎ　（ｋの範囲は０からｎ）
で表されます。従って
３Σ３＾ｋ＝３＋９＋・・・・・＋３＾（ｎ＋１）　（ｋの範囲は０からｎ）
二式目から一式目を引くと
２Σ３＾ｋ＝３＾（ｎ＋１）－１　　（ｋの範囲は０からｎ）
よって
Σ３＾ｋ＝（３＾（ｎ＋１）－１）／２　　（ｋの範囲は０からｎ）
です。これが３２８０になればいいことになります。

２．－１＜ａ＜ｂですからこの順に並ぶのが等差数列、－１，ｂ，ａの順に並ぶのが等比数列になります。等差数列の公差はａ＋１なので、ｂは２ａ＋１と表されます。
　一方等比数列の公比はーｂなのでａ＝－ｂ＾２と表されます。
上記よりａ＝－（２ａ＋１）＾２という二次方程式になるのでこれを解けばａ，ｂが判ります。

３．正の奇数の二乗の和はΣ（２ｋ＋１）＾２＝Σ（４ｋ＾２＋４ｋ＋１）　（ｋの範囲は０からｎ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝４Σｋ＾２＋４Σｋ＋ｎ＋１　（同上）
と表されます。これらは
１ から ｎ までの自然数の和 ：ｎ（ｎ＋１）／２
１ から ｎ までの自然数の平方の和 ：ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６
を利用すれば
２ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／３＋２ｎ（ｎ＋１）＋ｎ＋１　・・・（１）
と表されます。・・・（１）
　この問題では３桁の奇数ですからｋの範囲は５０から４９９です。この範囲の奇数の二乗の和を求めるには、上記の（１）においてｎ＝４９９とした時の結果からｎ＝４９とした時の結果を引いてやればいいことになります。下記は数列の和についてのサイトです。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sum/sum.htm

回答No.1

Tacosan

1. 何も考えず n = 1, 2, 3, ... とやれば必ずできる.
2. -1 と a が負, b が正であることから等差数列としての順序は -1, a, b, 等比数列としては -1, b, a (もしくは逆順) が確定. 2次方程式ができるのでそれを解く.
3. 「1^2+2^2+...+n^2」はわかりますか?