玉が取り出される順番の平均

質問

赤い玉1個と白い玉2個を袋に入れて一つずつランダムに取り出していきます。
これを何度も繰り返したとき、赤い玉は平均すると2番目に取り出されますよね？

赤い玉10000個と白い玉20000個で同様のことを行った場合、
一つ目の赤い玉がとり出されるのは同様に平均2番目になりますか？

出来れば計算式を教えてください。

回答No.6

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。
「平均」については、「回数の期待値」として以下のようにとらえました。
「取り出した玉は戻さないものとする。
初めて赤玉が出るまでに取り出した回数の期待値を求める。」

N回目に赤玉を取り出す確率は、
・N-1回目まで白玉を取り出し続け、
・N回目に、赤玉を取り出す。

というものになります。

【赤玉 1個、白玉 2個】のとき
この期待値は「2」になります。

【赤玉 10,000個、白玉 20,000個】のとき
このときは少し様相が変わってきます。
先の方も書かれているように、1個玉を取り出したところで、次に取り出す確率がさほど変わらないからです。

N回目に初めて赤玉を取り出す確率を p(N)とすると、
p(N)＝ 10000* 20000!/ 30000! * (30000-N)!/(20001-N)!

と求められ、回数の期待値は
Σ[N=1～20001] { N* p(N) }
＝ 10000* 20000!/ 30000!* Σ[N=1～20001] { N* (30000-N)!/(20001-N)! }

となります。
（1回目から 20001回目までを足し合わせる）

数がとてつもなく大きくなるので、WolframAlphaでΣ部分を計算してみると
Σ部分＝ 4.55* 10^43946

前にかかっている数を乗じて
10000* 20000!/ 30000!* 4.55* 10^43946
＝ 2.99・・・

となります。
（一気に計算することができたなかったので、分けて計算しています）
実際、数字を丸めているところもあるので、
答えは 3となるように思います。
つまり、回数の平均値（期待値）は「3」ということになります。

何かうまい計算方法があるのかもしれませんが・・・
参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。
とてもわかり易かったです。

回答No.7

noname#227064

赤い玉がm個、白い玉がn個として、非復元抽出で赤い玉が初めてでるまでに引いた回数の期待値は、
x回目で初めて赤い玉がでる確率が(m+n-x)_C_(m-1) / (m+n)_C_mであることから、
Σx (m+n-x)_C_(m-1) / (m+n)_C_m　　（x = 1～n+1の和）
となります。
途中計算を省きますが、計算間違いをしていなければ求める期待値は
(m+n+1)/(m+1) = (10000+20000+1)/(10000+1) = 2.99980002
となるはずです。

回答No.5

さゆみ（@sayumi0570）

ｎ回目に赤が始めて出る確率　　１たい２の割合でものすごく数が多い場合
１回目　(1/3)　２回目　(1/3)(2/3)　３回め　(1/3)(2/3)^2　　　ｎ回目 (1/3)(2/3)^（ｎ－１）

回数と確率をかけて足していくと期待値になります

有限個で非復元抽出だとこの値からずれます
最初の方のずれが少なければ３に近い値になると思うので
１万個とかだと３より小さく３に近い値と推測します

回答No.4

pasocom

＃１です。
先の回答をしてから、どうもしっくりせず考えていました。私には「確率」と「平均」というのがどうも同列的に考えるのは無理があるような気がするのです。
先の回答では、「２回目に最初の赤い玉が出る確率は、1/3より大きい。
また、３回目以降に最初の赤い玉が出る確率は1/3より小さい。」
と書きました。これは正しい。
しかし、その先がいけません。
話を簡単にするために
「1)最初に赤い玉が出る確率＝1/3。
2)２回目に最初の赤い玉が出る確率＝1/3。
3)３回目以降に最初の赤い玉が出る確率＝1/3。」
だと仮定します。この場合に「平均は２」となるでしょうか。
たとえば300回試行したときに
「1)最初に赤い玉が出た回数＝100
2)２回目に最初の赤い玉が出た回数＝100。
3)３回目に最初の赤い玉が出た回数＝95。
4)４回目に最初の赤い玉が出た回数＝5。
5)以下はゼロ。」
だったとします。このばあいの平均値とは
｛（1ｘ100）＋（2ｘ100）＋（3ｘ95）＋（4ｘ5）/300＝605/300＝2.01666・・・。
ですね。
また
「1)最初に赤い玉が出た回数＝100
2)２回目に最初の赤い玉が出た回数＝100。
3)３回目に最初の赤い玉が出た回数＝95。
4)４回目に最初の赤い玉が出た回数＝4。
5)５回目に最初の赤い玉が出た回数＝1。
6)以下はゼロ。」
だったとすれば、平均値は、606/300＝2.02。

このように「２」を中心にその前と後が同じ確率だとしても、だからと言って「平均値は２」とはならないようです。それどころか、「６回目以降に・・・」というように付け加えていくとますます「２」から離れて「３」に近づいていきます。
しかし一方、上記のとおり「２回目に最初の赤い玉が出る確率は、1/3より大きい。」のも事実。

「確率」とは、同じ試行を無限回、行った場合に到達する値。一方「平均」とは有限回の試行回数の中で算出できる数字です。
したがって、この二つを同じ土俵で扱うこと自体、どこか概念として変な事が起きているような気がするのですが・・・。

回答No.3

さゆみ（@sayumi0570）

(1/３)　＋　2×(1/3)(2/3)　＋　3×(1/3)(2/3)^2 ＋ ４×(1/3)(2/3)^3 ・・・・・
少し訂正です
ｎ×ｎ回目に最初のが出る確率　を足していく

回答No.2

さゆみ（@sayumi0570）

１×1/3　＋２×2/3×1/2　＋　３×２/3×１/２=2　　　２回

あか１しろ２　　のばあい　　期待値は２回目

数が大きくて　比率があか１しろ２だと
非常に大きな数

(1/3)　　(1/3)(2/3)　　(1/3)(2/3)^2 (1/3)(2/3)^3 ・・・・・

(1/6)　＋　2×(1/3)(2/3)　＋　3×(1/3)(2/3)^2 ＋ ４×(1/3)(2/3)^3 ・・・・・

（１＋ｘ）＾ｎ　＝　ｎＣ０　＋　ｎＣ１ｘ　＋　ｎＣ２ｘ＾２・・・・・・・
これのマイナスバージョン
（１ーｘ）＾－２　＝　（－２Ｃ０）　＋　（－２Ｃ１）(-1)Ｘ　＋　（－２Ｃ２）(-1^2)ｘ＾２＋・・・・・・
　　　＝１＋２ｘ＋３ｘ＾２＋４ｘ＾３＋・・・・・・・・・・

これに2/3を代入

（１ー2/3）＾－２＝１＋２（2/3)＋３（2/3）＾２＋・・・・・・・

両辺を１/3倍

（１/3）（１－2/3）＾－２＝（１/3）＋２（１/3）（2/3)＋３（１/3）（2/3）＾２＋・・・・・・・

（１/3）（１－2/3）＾－２　＝3　　　　回数の期待値は3回

１万対２万だとおそらく２と３のあいだで３に近いと思います

回答No.1

pasocom

結論を先に言うと、同じはにならないと思います。
実際には非常に小さな数値になりますが、玉が30000個あった場合には、残った玉から赤い玉が出る確率が少しですが、ずれてきます。

【赤い玉10000個と白い玉20000個で同様のことを行った場合の計算】
1)最初に赤い玉が出る確率＝10000/30000＝1/3。
これは玉が３個だけの場合と同じです。
しかし、
2)２回目に最初の赤い玉が出る確率は、
（最初は白い玉が出る確率）ｘ（２回目は赤い玉が出る確率）、ですから
（20000/30000）ｘ（10000/29999）、となります。これは1/3よりわずかですが大きい値になりますね。
3)従って以下、「３回目以降に最初の赤い玉が出る確率」は１から上の２つのケースの合計を引いた値のはずですから、わずかですが1/3より小さい値になるはずです。

したがって、最初に赤が取り出されるのは平均すると、２より若干（微妙）ですが小さくなるのです。
（たとえば、1.99998　というような値になる。）