なぜ球は接するんですか？

質問

以下では球の半径はすべて同じとします。
ある球Aの側面に球を並べます。すると６個ならびます。
そしてそれらを１段目とします。次に、球がもっとも密になるよう、
１段目の凹みに球をおきます。すると３つの球が置けます。これを２段目とします。
１段目について、球Aとまわりに並べた球は必ず接することはわかったのですが、
２段目の３個がどうして互いに接しているのかわかりません。これは計算しなくても自明
なんですか？すみませんが考え方を教えてください。

回答No.1

asciiz · ベストアンサー

わりと自明のような気がします。

1段目の3個と、その上に乗っている2段目の1個をの合計4個に注目してみます。

その球4つの中心点は、正四面体(正三角形のみで構成されたもの)の角ということになり、一番密になっている状態では、動きようがありません。

任意の1球を外し、反対側の1球を加えた正四面体でも、やはり同じ関係となり、ぶれません。

立体的に球を並べていった場合でも、その正四面体の関係が永遠に続きますよね。

従って、一番密に並べ、積んでいったならば、近傍の3球は必ず正三角形の関係となり、近傍の4球は必ず正四面体の関係となり、互いに接するように並べていける……ということになるでしょう。

お礼

イメージ的に一番理解しやすかったのでベストアンサーに選ばせていただきます。数学的に示してくださった皆さんもありがとうございました。助かりました。

回答No.4

info22_

図を添付しますので、良く観察して、考えてみれば、2段目の球も互いに球の中心間の距離が、一段目の球の半径の2倍になっていることが、中心間を結ぶ補助線から分かるでしょう。
これから互いの球が接する事が分かるかと思います。

お礼

ありがとうございます；

回答No.3

noname#218414

No.2です。
画像が違っていました。

回答No.2

noname#218414

３つの球の上に１つ球をのせ、中心を直線で結ぶと正三角錐になります。
それを上から見ると、２段目の球の中心は正三角形の真ん中にくるはずです。

２段目の球の中心をそれぞれA、D、１段目の真ん中の球の中心をO、他の球の中心をB、Cとすると、直線ADが、球の半径の２倍と同じ長さになれば接することになります。

ここで、角ABO＝角DOC＝６０度÷２＝３０度で、直線AB＝ODですから、ABODは平行四辺形になります。
よってBO＝ADで、BOは半径の２倍だからADは半径の２倍になり、接していることになります。

これで数学の解答として充分じゃないと思いますが、イメージ的には接する様な気がします。

お礼

ありがとうございました