大きな球に小さな球を詰め込む

質問

無数にある同じ大きさの球を、その球の十倍の直径（内径）の球に、入りきれるだけ入れた場合、何個の球が入るのか?
ただし、大きい球も小さい球も真球で、どちらも詰め込んでも形は全く変化しないとする。

こんな問題は、数学的にどのように解くのでしょうか？

また、小さな球の直径は1、大きな球の直径（内径）はn倍とした場合
公式は導けるものなのでしょうか?

回答No.2

lupin__X

質問の命題を次のようにしましょう。
「直径1の球 N個を収納できる最小の球の直径を P(N) とする。」
大きい球の直径は、小さい球の整数倍である必要はないからです。
たとえば N=4 のとき P(4)=2.224745・・ ですむからです。
最初の設問は、「P(N)≦10 となる最大の N を求めよ」になります。
「数学的に解く」の意味が分かりませんが、美しい解き方が浮かび
ません。強引に解くには計算量が多過ぎて間違いだらけしそうだし、
時間がかかりそうです。パズルの問題としても適切な解答がない限り
出題には不適格でしょう。

日本語の検索では、次元数を増やす方向の説明が多かったり、適切な
ものが見つからないようです。 英語で調べるとキーフレーズは、
Sphere packing in a sphere 　(球の中への球の詰め込み問題)

http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing_in_a_sphere
http://web.archive.org/web/20120330204037/http://www.randomwalk.de/sphere/insphr/spisbest.txt

リンクは、コンピュータ計算ぽいですね。大きい球の径を1としてます。
これを参考に。
P(n) が整数となるのは、P(1)=1, P(2)=2, P(13)=3 だけかも。
P(5)=P(6) = 1+√2 =2.41421356・・
P(11)=P(12) = 2.902113・・
lim[N→∞]{N/(P(N))^3}=π/√18=0.7408・・
[4倍球] P(32)=3.98744・・ : P(33)=4.01990・・
[5倍球] P(67)=4.98895・・ : P(68)=5.00695・・

4倍球で 32個、5倍球で 67個でしかも隙間があります。
小球5個も6個も同じ大きさの大球が必要で、11個12個も同様。

元の質問の10倍球では、六方最密充填で 556個(間違いがなければ)、
境界付近の工夫で600個前後かもしれません。

回答No.1

ask-it-aurora

これは回答というよりコメントです．

ご存知かもしれませんが，連想されるキーワードは「接吻数問題」や「球充填」です．3次元空間の場合を考えているとします．n = 3 の場合にお尋ねの問題は接吻数問題として定式化できるでしょう．その答えは12個であることが知られています．この証明も難しいらしいので，一般形は3次元でももっと難しいでしょうね．答えがわかったとしても簡明な証明はおそらく見つからないでしょう．

お礼

この質問を書き込んだ後に自分でも調べてみました

3次元の球よりも簡単な筈の、二次元の円でも、意外と難解な問題みたいですね

素人的には案外 簡単なのかなと思ったりしましたが

ご回答ありがとうございました