指数の拡張

質問

次の計算をせよ。ただし、a＞０、b＞0である。

(1)(a^1/3-b^1/3)(a^2/3+a^1/3*b^1/3+b^2/3)

(2)(a^1/2+a^1/4*b^1/4+b^1/2)(a^1/2-a^1/4*b^1/4+b^1/2)

という問題のやり方を教えて下さい。途中式もよろしくおねがいします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

（1）c=a^1/3, d=b^1/3と置けば
(a^1/3-b^1/3)(a^2/3+a^1/3*b^1/3+b^2/3)
=(c-d)(c^2+cd+d^2)
=c^3-d^3（素直に展開するだけ）
=a-b
(2)c=a^1/4, d=b^1/4と置けば
(a^1/2+a^1/4*b^1/4+b^1/2)(a^1/2-a^1/4*b^1/4+b^1/2)
=(c^2+cd+d^2)(c^2-cd+d^2)
=c^4+d^4+c^2d^2（素直に展開するだけ）
=a+b+√ab

お礼

理解することできました。親切に教えていただきありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

a^1/3=x,b^1/3=yとおくと、与式は
(x-y)(x^2+xy+y^2)
となります。よくある因数分解の公式と同じですね。

a^1/2+b^1/2=x、a^1/4*b^1/4=yとおくと、与式は
(x+y)(x-y)
となります。これもよくある公式と同じですね。

お礼

やっと理解できました。親切に教えていただきありがとうございました。

回答No.2

tomokoich

(1)乗法公式
(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3を使います
この場合
A=a^(1/3),B=b^(1/3)なので
(a^(1/3))^3-(b^(1/3))^3
=a-b

(2)乗法公式
(A^2＋AB+B^2)(A^2-AB+B^2)=A^4+A^2B^2+B^4を使います
この場合
A=a^(1/4),B=b^(1/4)なので
(a^(1/4))^4+(a^(1/4))^2×(b^(1/4))^2+(b^(1/4))^4
=a+a^(1/2)×b^(1/2)+b
=a+(ab)^(1/2)+b

お礼

理解することできました。親切に教えていただきありがとうございました。