指数の拡張の問題

質問

a＞0とする。a^1/3+a^-1/3=4のとき,次の式の値を求めよ。

(1)a+a^-1
(2)a^1/2+a^-1/2

という問題が宿題にあるのですが、どうやって解いたらいいのかわかりません。 途中式も教えて下さい。

回答No.2

tomokoich · ベストアンサー

a^(1/3)=A,a^(-1/3)=Bとおく
A+B=4,AB=1
(1)a+a^(-1)
=(a^(1/3))^3+(a^(-1/3))^3
=A^3+B^3
=(A+B)(A^2-AB+B^2) --->A^2+B^2=(A+B)^2-2AB=4^2-2×1=14
=4×(14-1)
=4×13=52

(2)a^(1/2)=A,a^(-1/2)=Bとおく
a+a^(-1)
=(a^(1/2))^2+(a^(-1/2))^2
=A^2+B^2=52
(A+B)^2=A^2+2AB+B^2=2+52=54
A+B=√54=3√6
a^(1/2)+a^(-1/2)=3√6

お礼

詳しく教えていただきありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

（１）a^(1/3)=p　とおきます。するとa^(1/3)+a^(-1/3)はp+1/p=(p^2+1)/pと表され、これを３乗すると
(p^6+3p^4+3p^2+1)/p^3=(p^6+1)/p^3+3(p+1/p)
となります。このうち(p^6+1)/p^3は(a^2+1)/a=a+1/aに等しいので、
(p+1/p)^3=a+1/a＋3(p+1/p)
a+1/a=(p+1/p)^3-3(p+1/p)
　　　=４＾３－４＊３
　　　=６４－１２
　　　=52
となります。

（２）a^(1/2)+a^(-1/2)=(a+1)/a^(1/2)を二乗すると
(a^2+2a+1)/a=(a^2+1)/a+2
　　　　　　　=52+2
　　　　　　　=54
となるので、a^(1/2)+a^(-1/2)はその平方根です。

お礼

詳しく教えていただきありがとうございました。

回答No.1

Tofu-Yo

与式a^1/3+…=4の両辺を3乗すればまず(1)がわかるはずです。

(2)は最初にその2乗を求めてください。(1)を使います。そしてa>0に留意すれば求めたいものが求まるはずです。

お礼

上のふたつと合わせて考えるとよくわかりました。
ありがとうございました。