偏微分について

質問

偏微分をする問題で、自分でやってみたのですがきれいな式が出なくてこれで合っているのか…。
助言をおねがいします。

f(x,y)={(x^2)y}/{(x^2)+(y^2)}
ただし、(x,y)≠(0,0)

答　∂f/∂x=2xy/{(x^2)+(y^2)}-{2(x^3)y}/{(x^2)+(y^2)}^2
∂f/∂y=x^2/{(x^2)+(y^2)}-2(x^2)(y^2)/{(x^2)+(y^2)}^2

これであってますか？
ちなみにこれって、最終的には(∂^2)f(0,0)/∂x∂y , (∂^2)f(0,0)/∂y∂x を求める問題なのですが、私の計算だとどちらも０になっちゃうのですが…。

回答No.2

i536 · ベストアンサー

与式を下記(1)に変形した後、編微分するといいですよ。
(x^2+y^2)f=x^2*y ---(1)

(1)の両辺をxで編微分すると
2xf+(x^2+y^2)f_x=2xy ---(2)
計算しやすいように、(2)の両辺に(x^2+y^2)を掛けてから整理すると、
(x^2+y^2)^2*f_x=2xy(x^2+y^2)-2x(x^2+y^2)f=2x^3*y+2xy^3-2x^3*y=2xy^3

∴f_x=2xy^3/(x^2+y^2)^2---(3)

(1)の両辺をyで編微分すると
2yf+(x^2+y^2)f_y=x^2 ---(4)
計算しやすいように、(4)の両辺に(x^2+y^2)を掛けて整理すると、
(x^2+y^2)^2*f_y=x^2(x^2+y^2)-2y(x^2+y^2)f=x^4+x^2*y^2-2x^2*y^2=x^4-x^2*y^2

∴f_y=(x^4-x^2*y^2)/(x^2+y^2)^2---(5)

次に、f_xy=f_yxを導きます。

f_xyは、(2)をyで編微分すると
2xf_y +2yf_x +(x^2+y^2)f_xy=2x---(6)

f_yxは、(4)をxで編微分すると
2yf_x +2xf_y +(x^2+y^2)f_yx=2x---(7)

(6)-(7)から、f_xy=f_yx。

最後に、f_xyを求めます。

(6)に両辺に(x^2+y^2)を掛けてから整理すると、
2x(x^2+y^2)f_y +2y(x^2+y^2)f_x +(x^2+y^2)^2f_xy=2x(x^2+y^2)

2x(x^2-2yf)+2y(2xy-2xf)+(x^2+y^2)^2f_xy=2x(x^2+y^2)
2x^3-4xyf+4xy^2-4xyf+(x^2+y^2)^2f_xy=2x^3+2xy^2

-4xyf+2xy^2-4xyf+(x^2+y^2)^2f_xy=0

さらに両辺に(x^2+y^2)を掛けてから整理すると、
-4xy(x^2+y^2)f+2xy^2(x^2+y^2)-4xy(x^2+y^2)f+(x^2+y^2)^3f_xy=0

-4x^3*y^2+2x^3*y^2+2x*y^4-4x^3*y^2+(x^2+y^2)^3f_xy=0

∴f_xy=((6x^3*y^2 - 2x*y^4))/(x^2+y^2)^3.

補足

非常に詳しい説明をありがとうございます！
やっぱり∂^2*f/∂x∂yと∂^2*f/∂y∂x って同じになっちゃいますよね！？
この問題が出された時、先生が「この問題は、xを先に偏微分したものとyを先に偏微分したものは同じとは限らないことの一例です」と言っていたので…
でも自分がやったのを信じてみます☆ありがとうございました！！

もう一つ質問させてください！！
１をxで（xじゃなくてもいいんですけど…）偏微分したら何になりますか？

回答No.1

ElectricGamo

合ってますよ。