微分で同型出現

質問

高校３年です

先日、
2x^2-3xy+2y^2＝ｋのときd^2y/dx^2を求めよ
という問題を解き
答えが
14(2x^2-3xy+2y^2)/(3x-4y)^3
となりました

なぜ2x^2-3xy+2y^2を二回微分すると
同じ形の2x^2-3xy+2y^2という式が出てくるのですか？
数学的に意味があるのでしょうか？
さらにこれは一般的にいえることなのでしょうか？

とても興味があることなので
高校生にもわかるような簡単な説明をどなたかしていただけませんか？
よろしくお願いします

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ANo.1のコメントを拝見して，ちょっと回答の方向間違えたかなと．

　まず，ご質問の場合に限った話ですが，

2x^2-3xy+2y^2-k=0

はyについて解けて

y=(1/4)(3x±p(x))
p(x) = √(8k-7(x^2))

である（かな．ま，なにかそんな感じになる）．yについて解けてますから，ご質問にある問題をやるには，右辺を二階微分すれば良いだけです．ここで，p(x)が平方根の格好をしてるので，yをxで微分したy'の中にもp(x)が現れる．何回微分してもこの部分は残る．
　一方，

4y-3x=±p(x)

であるから，y'やy''の中に現れる±p(x)を(4y-3x)で置き換えることができ，すると微分方程式の形になる，平方根が見かけ上は消えてなくなるけれども，(4y-3x)を微分すればそれは±p(x)の微分と同じことなので，やっぱりp(x)が残る．いくら微分しても同じ．「同型出現」の原因はこれでしょう．

　一般に，y = .....とそれを微分した y' = ..... に同じ部分Pがあり，そして両者を連立してPを消去できたなら，結果は微分方程式の格好になる．当たり前のことですね．では，こういう「同じ部分P」になるものってどんなものがあるか，もうちょっと一般化して考えてみましょうか．

　まず，微分によって形が変わらないのは指数関数．二階微分だと双曲線関数もそうです．しかし，「変わらない」とまで限定しなくても良いわけで，式の上で微分によって「同じ部分P」が現れる，と言いますと，まずは　y=z^n　が重要でしょう．xで微分したら

y' = nz'(z^(n-1)) = nyz'/z

となるんで，yやzが現れる形になる．ご質問の場合なら，z = 8k-7(x^2), n = 1/2 ということですね．

　さてと，幾何学的意味っすか．うーむむ，これは考えた事なかったなあ．

回答No.1

stomachman

ご質問にお書きの計算結果が合っているとすれば，それは「2x^2-3xy+2y^2=k が (d^2)y/(dx^2)=14k/(3x-4y)^3 という微分方程式のひとつの解になってる」ということ．
　(d^2)y/(dx^2)を計算するってことは，yをxの関数y(x)だと思って，つまり2x^2-3xy(x)+2(y(x))^2=k と考えた，ということですね．こういうのを(関数yの)陰関数表示と言います．（yについて解いた y(x) = (yを含まない式) という形になっていれば陽関数表示です．）
　それはさておき，「関数yの微分を含む関係式」を「(関数yに関する)微分方程式」と呼び，「微分方程式を満たすような関数yの集合を具体的に構成すること」を「微分方程式を解く」と言うってことを，まだご存知ないのなら，そのうち教わるでしょう．
　微分方程式にはいろんな応用がありますが，ことに物理学では最重要のツールです．

お礼

ありがとうございます

おっしゃることはわかりますが
なぜそうなるのかを知りたいのです
さらには幾何的な意味などはないということですか？