塩分濃度に関する問題

質問

重量比20%の塩水10kgが容器いっぱいに入っている。ここに、1秒あたり1kgの真水をそそぐ。塩水と真水は瞬時に混ざり合ったのち、容器に入りきらない分が流れ出すとする。t秒後の容器中の塩分濃度はいくらになるか。

という問題ですが、さっぱり分からないのです。

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

食塩水の比重を考慮すると面倒なので真水と同じ（１ｋｇ／Ｌ）としておきます。容器から流れ去る食塩の量は
ｃｍ　（ｃ：容器中の食塩濃度、ｍ：容器からの流出速度（ｋｇ／ｓｅｃ））
で与えられるので、容器中の食塩濃度の変化（濃度の時間微分）は
ｄｃ／ｄｔ＝－ｃｍ／Ｖ　（Ｖ：容器中の食塩水の質量（ｋｇ））
と与えられます。変数分離して
（１／ｃ）ｄｃ＝－（ｍ／Ｖ）ｄｔ
両辺を積分して
ｌｎ（ｃ）＝－ｍｔ／Ｖ＋ｃｏｎｓｔ．　（ｃｏｎｓｔ．：積分定数）
ｔ＝０のとき
ｌｎ（０．２）＝ｃｏｎｓｔ．
なのでｃｏｎｓｔ．＝ｌｎ（０．２）
よって
ｌｎ（ｃ）＝－ｍｔ／Ｖ＋ｌｎ（０．２）
ｃ＝ｅ＾（－ｍｔ／Ｖ＋ｌｎ（０．２））
　＝０．２ｅ＾（－ｍｔ／ｖ）
となります。濃度変化（濃度の時間微分）が濃度に比例する一次反応の考え方と同じですね。
http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/kagakuneturiki/sokudosikinosekibun.html

お礼

詳しく教えてくださってありがとうございます！
ベストアンサーに選ばせていただきました。

回答No.5

gohtraw

＃３です。補足します。
ｃ＝０．２ｅ＾（－ｍｔ／ｖ）
にｍ＝１、V=１０を代入すると
ｃ＝０．２ｅ＾（－ｔ／１０）
となり、＃４さんと同じ結果になります。

回答No.4

alice_44

容器内と溢れた塩水とでは濃度が異なりますから、
No.2 のようにはなりません。

t 秒後の塩分濃度を x ％とすると、
塩分の流出速度について、前述のとおり
-(d/dt)(10・x/100) = (x/100)・1
が成り立ちます。
整理して dx/dt = (-1/10)x ですから、
これを解いて
x(t) = 20・exp( (-1/10)t ) です。

お礼

No.3の方の補足的な分かりやすい説明をありがとうございます！
良く理解できました^^

回答No.2

eos5qd

いま現在，食塩2kgと水8kgから作られた10kgの食塩水がある．
t秒後，容器の中身とあふれ出たものを合計すれば，食塩2kgと水(8+t)kgの水から作られた
(10+t)kgの食塩水が存在し，そのうち10kgだけが容器内に残っている．

つまり，容器内に残っていようがあふれ出ていようが，食塩水の濃度は　2÷(10+t）×100 [%] で求まる．

お礼

その回答ですと、容器内の塩分濃度ではないのです。
この質問をする前に私も近い回答をしてバツをくらってしまったんですよ^^;

分かりやすい説明ではあるのですが、、、すいませんm(_ _)m

回答No.1

alice_44

塩分の流出速度は、各時点での塩分濃度×水の流量となります。
これによって、容器内の塩分量についての微分方程式が立てられますね。
解は、指数減衰になると思います。