2次方程式

質問

2次方程式(x＾2)-px＋1=0の２つの解をα、βとし、2次方程式(x＾2)-x＋q＝0の２つの解をα',β’とする。このとき、(α'-α)(α'-β)(β'-α)(β'-β)をp,qを用いて表すのですが、さっぱりわかりません。
全くです。
基礎からおしえてください

x＾2-px＋1=0の２つの解がα、β」ということは、
　x^2 - px + 1 = (x - α)(x - β)　?
とおもったのですがよくわかりません。

お願いします。

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

>x＾2-px＋1=0の２つの解がα、β」ということは、
>　x^2 - px + 1 = (x - α)(x - β)　?

そうですね。上の等式を (1)とします。
ここで、問題の式を良く見てみましょう。
(α'-α)(α'-β)(β'-α)(β'-β)
まず、これを左２つのかっこ、右２つのかっこに分けて考えます。
まず、左２つのかっこ。
(α'-α)(α'-β)
(1)と比べてみてください。何か見えてきませんか？
(1)の右辺に x=α'を代入したものになってますよね。
(1)はxについての恒等式（任意のxについて成り立つ式）ですから、左辺にx=α'を代入して
(α'-α)(α'-β)　= (α')^2-pα'+1
が成り立ちます。
同様に右２つのかっこも (1)にx=β'を代入したものと考えることができ、
(β'-α)(β'-β) = (β')^2-pβ'+1
が成り立ちます。
従って、
(α'-α)(α'-β)(β'-α)(β'-β)
={(α')^2-pα'+1}{(β')^2-pβ'+1}
と変形できる訳です。(#1さんの※の部分は、このことを簡潔に説明しています。）
これを展開して整理すると
(α'β')^2+(α')^2+(β')^2-p{(α')^2+(β')^2}-pα'β'(α'+β')-p(α'+β')+1
となると思います。（ご自分で展開してみてくださいね）
あとは　(α')^2+(β')^2　の部分をα'+β',α'β'で表せれば、全ての項がα'+β',α'β'で表せたことになるので、
(x＾2)-x＋q＝0
の解と係数の関係を使えば、終わりです。
（解と係数の関係はわかってますよね？）

回答No.2

eatern27

#1さんへの補足について

その補足の質問の答えは、#1さんのご回答に書いてありますね。

＞※x^2 - px + 1 = (x - α)(x - β)という恒等式にx=α'を代入することにより(α'-α)(α'-β)=(α')^2-pα'+1が得られます。

同じ事をすれば、
(β'-α)(β'-β)＝(β')^2-pβ'+1
が言えます。なので、

(α'-α)(α'-β)(β'-α)(β'-β)
＝{(α'-α)(α'-β)}{(β'-α)(β'-β)}
＝{(α')^2-pα'+1}{(β')^2-pβ'+1}

となります。

回答No.1

kony0

その着眼点は素晴らしいです。それを使うと、
{(α')^2-pα'+1}{(β')^2-pβ'+1}
と変形できます。
※x^2 - px + 1 = (x - α)(x - β)という恒等式にx=α'を代入することにより(α'-α)(α'-β)=(α')^2-pα'+1が得られます。
ここまで行けば、適当に展開して、α', β'に関する解と係数の関係を適用してあげれば終わります。

補足

{(α')^2-pα'+1}{(β')^2-pβ'+1}
はどのように変形したのかおしえてくれませんか？