積分法などでの求め方

質問

こんばんは。今工業数理基礎という科目の勉強をしている者です。

今つまづいている問題が２つあって、教えていただければなぁと思っての書き込みです。
教えていただきたい問題はこれです。

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【問１】
ある車が走行している。ブレーキをかけ始めてから止まるまでの速さが、
v=9-3t[m/s]で表わされる時、ブレーキをかけ始めてからt秒後までの距離を求めよ。

また、この車がブレーキをかけ始めてから、何m走って止まるか。
ただし、ブレーキをかけ始めた瞬間の走行距離を0ｍと考えてよい。

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答えが、s=9t-3/2t^2[m]、13.5mです。

ｔ秒後までの走行距離が積分を使って、
s=9t-3/2t^2[m]なのは理解できる/解けましたが、
13.5mの出し方がさっぱりわかりません。
0を使うとは思って、色々実数入れて試してみたんですが…。

解ける方、回答をよろしくお願いします。

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【問２】
内径13mmの水道の蛇口から水が流出する時、栓を次第に開けていくと、水の流速v[m/s]は
流れ始めてから５秒間は、

v=0.37t+0.13t^2

で表わされる。ただし、tは流れ始めてからの時間で、0≦t≦5[s]である。
この５秒間の水の流水量V[m^3]を求めよ。

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こちらの解答は、1.34×10^-3m^3（0.00134m^3）です。

こちらも色々試してみたのですが、答えの出し方が全くわからず困っています。

申し訳ありませんが、解答よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）速度がｖ＝９－３ｔで与えられているので、ｔ＝０の時の速度は９ｍ／ｓであり、停止するまでにかかる時間は９－３ｔ＝０とおいてｔ＝３です。停止するまでの移動距離を求めるにはｖをｔ＝０から３の範囲で積分してやればいいので、
ｓ＝９＊０－３＊０＾２／２－（９＊３－３＊３＾２／２）
　＝－（２７－８１／２）
　＝１３．５
となります。

（２）水の流速が与えられているとき、これに蛇口の断面積Ｓをかけたものが単位時間当たりに出てくる水の量になります。Ｓ＝０．０１３＾２＊π　ですね。この場合はＳ＊ｖを時間０から５まで積分してやればいいことになります。ｖを時間で積分してやると　０．３７ｔ＾２／２＋０．１３ｔ＾３／３　になるので
Ｖ＝０．０１３＾２＊π（０．３７＊５＾２／２＋０．１３＊５＾３／３ー０）
で求めることができます。

補足

gohtrawさん、解答ありがとうございます。
でも、納得いかない、ちょっとできない箇所がありまして、
できれば教えていただきたいです。

まず【問１】に関してですが、
（９＊３－３＊３＾２／２）
ここの計算で、８１／２が出てくるのが納得できないです。
３×３＾２/２の計算だと、２７/２じゃないでしょうか？

これの計算をして９の二乗になるのは何故でしょうか？

また、【問２】についてですが、
こちらの式をもとに計算をやってみたのですが、
解が0.00134m^3にいきつきません。

面積の出し方についても、直径を二乗でかけているので、
０．０１３＾２＊π/４にはならないのでしょうか？

÷４で計算しても上手く解にいきつきませんでした…。

お手数ですが、もしよろしければ回答よろしくお願い致します。

回答No.2

kinngan-shufu

ブレーキをかけて停まるには、速度が　０　にならないといけません。
したがって、

【問１】

v=9-3t[m/s]

で、v＝０　とおくと、t＝３　となりますね。

速度を時間積分したものが走行距離になるので、

距離ｘは、

x＝９＊t―３/２＊t＾２

になります。

この走行距離ｘに、先ほど計算した　t＝３　を代入して、

ｘ＝9＊3-3/2＊3＾2
　=27-27/2=13.5　[m]

となります。

【問２】

内径１３mm　すなわち　半径　13/2＊10＾（-3）　[m]

水の流速が

v=0.37t+0.13t^2　　[m/s]　　なので、

t＝５秒間に流れた水の筒の長さは

vを時間積分してやって、

x＝０．３７/２＊t＾２+０．１３/３＊t＾３　[m]

となります。

円柱の底の円面積＊筒の長さで答えが出ます。

すなわち、

Ｖ=（０．０１３/２）^２*pi()*(０．３７/２*５^２+０．１３/３*５^３)

が求める答えです。

私がExcel計算した限りでは、

０．００１３３３　[m＾３]

となりますが、いかがなものでしょう？

お礼

返事が遅くなり申し訳ありません。

kinngan-shufuさん、回答ありがとうございました。
助かりました。