二次方程式の解き方について

質問

中３のものですが、二次方程式についての疑問です。

ｘ^２＝３ｘ

ｘ＝３、ｘ＝－３

という式で、３ｘを左辺に移項して共通因数の３でくくれば解が出てくるのは分かるのですが、両辺をｘで割り解が３になるという考え方はどうなるのでしょうか。

ｘ^２＝３ｘ　↓両辺÷３
　 ｘ＝３

このとき方ではいけないというのは分かるのですが、なぜ「両辺を３で割って解は３」ではいけないのでしょうか。根本的なことですがどなたか分かりやすく教えてください。
※「解は－３もあるから」ではなくあくまでなぜ「両辺を３で割って解は３」ではいけないのか教えてください。

回答No.3

natukko · ベストアンサー

まず、私ならXで両辺を割る方法で解きませんが、
解くとすれば、場合わけをしなければならないと思います。
以下の二通り

X≠0のとき
X=0のとき

つまり、X＝0の場合は、xで両辺を割ってはいけないと思います。（0で割るとすべての数字が無限大∞になりますよね。）

解くとすれば

ｘ^２＝３ｘ
　X≠0の場合
　　両辺をｘで割ると
　　ｘ＝3
　X=0の場合
　　両辺に0を代入すると
　　右辺も左辺も0となり等式は成り立つので
　　X=0も解となることがわかる。
　従ってX＝0，3
とでも解きましょうか。

中3の方にわかる説明だったでしょうか。

お礼

分かりました。♯２の方の回答を読み、両辺を未知数ｘで割る方法は根本的に間違っているものだと思い込んでしまいましたが、ｘが０ではない場合とｘが０の場合を前提にし、分けて考えればできないこともないのですね。数学の面白いところだなあと思いました。ありがとうございました。

回答No.6

tak2006

別の説明をしたいと思います。ｘ＾２＝３ｘを整理すると、

ｘ（ｘ－３）＝０

となるわけですが、ここで両辺をｘで割ってよいでしょうか？
割っても良いのなら、逆に両辺も（ｘ－３）で割り切れるはずですね？

ｘ（ｘ－３）＝０を解くときは場合分けをします。
掛け算の前の部分（ｘ）と後の部分（ｘ－３）のどちらかが０であればよいので、

前の部分がゼロの場合、ｘ＝０
後ろの部分がゼロの場合、ｘ－３＝０　∴ｘ＝３

となります。ここで前(後ろ)の部分がゼロの場合、後ろ(前)の部分はゼロではないので、ｘ（ｘ－３）＝０の両辺を後ろ(前)の部分で割ることができます。

やはり、両辺を変数(ここではｘ)で割るときは場合分けが必要になります。

お礼

目から鱗！

＞ここで前(後ろ)の部分がゼロの場合、後ろ(前)の部分はゼロではないので、ｘ（ｘ－３）＝０の両辺を後ろ(前)の部分で割ることができます。

この部分で一瞬考えてしまいましたが、納得できました。ゼロではないことを示した上で前（後ろ）の部分で割るなんて思いつきもしませんでした。すっきりしましたがちょっと悔しい感じです。回答ありがとうございました。

回答No.5

hinebot

#2の方の仰るとおり、「０で割る」可能性があることを無視してはいけません。

なので、場合分けして例えば

(1)x≠0 のとき
両辺をxで割って x=3

(2)x＝0 のとき
左辺＝右辺＝0 で成り立つ。よって、x＝0も解である。

(1)(2)より、x=0,3

という風にすれば間違いではありません。
でも、共通因数ｘでくくって、ｘ(ｘ－３)＝０として解くことを覚えましょう。

ちなみに、x=-3のとき
左辺＝(-3)^2=9　　右辺＝3・(-3)=-9
ですよ。

お礼

回答ありがとうございます。納得できました。

＞「０で割る」可能性があることを無視してはいけません。

とても数学らしい考え方で面白いなあ思いました。

＞ちなみに、x=-3のとき
＞左辺＝(-3)^2=9　　右辺＝3・(-3)=-9
＞ですよ。

間違っていましたね。失礼しました。

回答No.4

queschan

aloop さんの仰るようにご質問の二次方程式の解は
　x = 3 , x = 0
の２つです。

数学では０での割り算は禁止されているので、
x^2 = 3x　↓両辺÷x
　 x = 3
としたいなら、ｘ≠０という条件が必要です。

piko7531 さんやり方と同じ流れの解答を書くなら

(1) x≠0 のとき
　x^2 = 3x　↓両辺÷x
　 x = 3
(2) x = 0 のとき
　左辺＝０
　右辺＝０
　なので、x=0 は方程式を満たす。
以上、(1)(2)より　x = 0,3 が解である。

といった感じで場合わけが必要です。

お礼

＞aloop さんの仰るようにご質問の二次方程式の解は
＞x = 3 , x = 0
＞の２つです。

間違えてしまいました。すみません。

ｘ≠０のときとｘ＝０のときに分けるという考え方はとても勉強になりました。なんだかすっきりしました。ありがとうございました。

回答No.2

prome

「両辺を未知数ｘで割る」という部分がいけません。
なぜならｘは未知数なので、ゼロかもしれないですから。
数学でゼロ割りができないのはご存知ですね？
やはり習った通り、共通因数ｘでくくって、ｘ(ｘ－３)＝０として
解かないといけません。

お礼

分かりました！ｘが０かもしれないのに両辺をそのｘで割ってしまっているところがいけなかったのですね。
ゼロ割りができないのは初めて知りました・・・。よく考えたら０で割ったら商は無限大になってしまいますね。回答ありがとうございました。

回答No.1

aloop

？
なんか変じゃないですか？

X^2 = 3X
X^2 - 3X = 0
X(X-3) = 0

となって解は
X = 0
X = 3　（左辺のXが0または3のとき右辺を満たす）
となると思うのですが・・・。

お礼

回答ありがとうございます。
再び訂正：「解は－３もあるから」→「解は０もあるから」
解は０と３でした。失礼しました。

補足

あっ！共通因数は３ではなくｘの間違いでした。