x+y^3+xy=0で、yをxで微分し、y’を求めよ。

質問

x+y^3+xy=0で、yをxで微分し、y’を求めよ。
意味を考えずに機械的にやると
1+3y^2y’+y+xy’＝０　となるのはわかるが
意味はよく分かりません。
(1)これが簡便な方法として、認められるのか
もしよいのであれば、これでよい説明をつけてもらえませんか。
(2)定義にしたがって、もとめようとおもいましたが、
　lim{f(x+h)-f(x)}/h でf(x)をどうしようかで、止まってしまいました。
以上、２つについて、アドバイスをお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>意味を考えずに機械的にやると
>1+3y^2y’+y+xy’＝０…（■）　となるのはわかるが
>意味はよく分かりません。
>(1)これが簡便な方法として、認められるのか
>もしよいのであれば、これでよい説明をつけてもらえませんか。
認められるでしょう。簡便な方法と考えるのは質問者さんだけでしょう。

機械的にやればいいです。
ただそれだけのことですから、意味など考える必要はありません。
慣れれば分かった気になるかと思います。

敢えて意味を考えるなら
x+y^3+xy=0…(●)
両辺の全微分をとって
dx+(3y^2)dy+(dx)y+xdy=0
dxで割り、dy/dx=y'とおけば質問者さんの(■)の式になります。
なので深く考える必要はなく、そういうものだと理解し、慣れるしかありません。

>(2)定義にしたがって、もとめようとおもいましたが、
そんなことをしても意味ないでしょう。
やりたければ気の済むだけやってみてください。その結果何が出てきますか？

ただ、言えるのは
(●)上の任意点(x,y)における（●）の接線の傾きは
（■）から求めた
y'=dy/dx=-(1+y)/(x+3y^2)
で与えられる
ということです。

覚えておいて下さい。

お礼

やって意味があるのとそうでもないことが分かったので
よかったです。ありがとうございます。

回答No.2

htms42

ｐ＝ｆ(ｘ)　であれば　ｐ’＝ｆ'(ｘ)　ですね。
普通に微分するでしょう。
ｆ(ｘ)の内容が
ｆ(ｘ)＝ｘ＋(ｇ(ｘ))^3＋ｘｇ(ｘ)
であればどうしますか。
同じように微分して
ｐ'＝１＋３ｇ'(ｘ)(ｇ(ｘ))^2＋ｇ'(ｘ)
としますね。
ここで　ｐ＝０　という条件が指定されていても微分はそのまま生き残ります。
１＋３ｇ'(ｘ)(ｇ(ｘ))^2＋ｇ'(ｘ)＝０
になるだけですね。
ｙ＝ｇ(ｘ)とすればご質問の式になります。

微分は関数にたいして定義されています。
その関数がどういう条件を満たすかということとは関係がありません。
関数の満たす条件は方程式で指定されます。
「＝０」が付いたことで方程式になったのです。

お礼

機械的に微分をしてもいい理由が分かりました。
完璧でなくても、少しでもそうできる理由をしっていると
計算していても安心できます。
ありがとうございます。