実数xについての不等式の解法

質問

小生は、大学受験に向けて、日々勉強に励んでおります。
数学についての質問なのですが・・・
以下の問題について、解答と解説をお願い致します。

実数xについての不等式、
x-1 ≧ √(x-3)
を解け。

２時間考えましたが、分かりませんでした（涙

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

左辺のグラフy=x-1（青線）と右辺のグラフy=√(x-3)(黒線)の図を添付します。

x-1 ≧ √(x-3)　…(1)
を満たすxの範囲は
x≧3
(黄色に塗り潰した範囲）
です。

グラフ的に解けば一気に解けますが、式的に解く解法は以下の通り。
右辺の√内=x-3≧0 から x≧3
このとき√≧0なので　　x-1≧0 これから　x≧1
以上まとめて　x≧3 …(2)

(2)の範囲では(1)は二乗した式と同値になる。
(x-1)^2≧x-3 (x≧3) …(3)
この不等式を解けばよい。
不等式を整理すると
x^2-3x+4≧0
左辺=(x-3/2)^2+4-(9/4)=(x-3/2)^2+(7/4)>0
なので不等式は常に成立する。
したがって不等式(3)の解つまり(1)の解は
(2)の範囲となる。

お礼

解答、ありがとうございます。

非常に分かりやすいグラフも添付していただいて、本当に感謝です。

なるほど、グラフで見るとイメージが掴みやすいですね。

回答No.3

puusannya

ｘが実数ですからｘ－１も実数、
左辺が実数ですから右辺も実数です。というところから、（ルートの中はーではありませんので。）

ｘ－３≧０　より　ｘ≧３・・・(1)
このとき　√ｘ－３≧０だから　　　　　　（両辺が正のときは２乗しても大小の関係は変わりません）
（ｘ－１）＾２≧ｘ－３　が成り立つ。
これを整理して　ｘ＾２－３ｘ＋４≧０　(これを満たすｘを求めればいいのですが、今はありません。)
今、ｘ＾２－３ｘ＋４＝（ｘ－３/２)＾２＋７/４＞０　だから
ｘ＾２－３ｘ＋４≧０　はすべての実数ｘで成り立つ。

よって、(1)より不等式を満たす解は　ｘ≧３

と解いてみましたが、どうなのでしょう。

お礼

丁寧な回答、ありがとうございます。

両辺を2乗すればよかったのですね。

もっと精進します。

回答No.2

noname#175430

代数的な解法は
両辺が0以上である不等式は
２乗してもよいという
性質を利用します。

場合分けが必要です。

お礼

回答、ありがとうございます。

精進します。

回答No.1

noname#157574

グラフをかきましょう。

お礼

回答、ありがとうございます。

精進します。