実数x,yについて、次の不等式が成り立つことをベク

質問

実数x,yについて、次の不等式が成り立つことをベクトルを用いて証明せよ。
√2｜x-y｜≧｜√（x^2+（y+1）^2）-√（y^2+（x+1）^2）｜

という問題の解法が全くわかりません。
ご教授のほどよろしくお願いします。

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

>三角形の座標はどのように判断したのでしょうか？
>よろしくお願いします。

なんというか…直感です。。そして、何故その様な直感が働いたのかという事を考えていくと、得てして長くなる物です…。
以下にその流れを書いてみますが、この流れは全く数学的な物ではなくて唯の憶測の積み重ねですのでご注意下さい。

先ず、√2｜x-y｜≧｜√（x^2+（y+1）^2）-√（y^2+（x+1）^2）｜を眺めてみると、√（x^2+（y+1）^2） と √（y^2+（x+1）^2） は明らかに「何かの長さ」の式です。そして、全体を見てみると a ≧ |b - c| という形をしていて、これは三角不等式(の一種)と同じ形をしている事に気付きます。そこで、それぞれの辺の長さが AB = √2|x-y|, AC = √(x^2+(y+1)^2), BC = √(y^2+(x+1)^2) となる三角形が見付かれば良さそうだと思う訳です。

三角形の辺の長さの関係は原点をどこに設定しても変わらないので、取り敢えず原点を C においてみます: C = (0,0)。すると、 AC = √(x^2+(y+1)^2) より A = (±x, ±(y+1)) or (±(y+1), ±x) (8通り)と予想されます。同様に、B = (±y, ±(x+1)) or (±(x+1), ±y) (8通り)と予想されます。ここで、取り敢えず A = (x,y+1), B = (y,x+1) を当て嵌めてみる(★)と答えが出ます。A = (x,y+1), B = (y,x+1), C = (0,0)。もう少し見た目を綺麗にする為に原点を取り直す(or 三角形を全体に y 軸の方向へ -1 移動する)と A = (x,y), B = (y,x), C=(0,-1) になります。

補足: (★) の部分でなぜその組合せを選ぶのか…という事ですが、これも直感です…：

先ず、候補が合計 8×8=64 通りある様に見えますが、同じ形の三角形を回転・反転させた物が沢山あるので、実際にはそんなに沢山ありません。x軸鏡映, y軸鏡映と、x=y (斜め45度の線)鏡映を想像すると、A = (x, y+1) の三角形だけ考えれば良いと直ぐに分かります(その他の三角形は全てこの三角形を回転・反転した物にすぎない)。以降、A = (x, y+1) とします。

次に、AB = √2|x-y| を見ます。これも何かの長さだとすると √(u^2 + v^2) の形になっていると期待できます。√2があるという事は、u=v という事なのではないかと想像します…つまり、AB = √2|x-y| = √((x-y)^2+(x-y)^2) の可能性を考えます。A-B = (±(x-y),±(x-y)) という事です。ここで A-B に登場する x, y が A = (x, y+1) から直接来る物だと思うと、A-B = (x-y, y-x) で、B = (y, x+1) しかありません。

お礼

ようやく理解することが出来ました。
詳しい返答ありがとう御座いました。

回答No.1

akinomyoga

点 A,B, C を A = (x,y), B = (y,x), C = (0,-1) とする。三角形ABCについて三角不等式
　　AB+AC≧BC, AB+BC≧AC
が成立する。これより、
　　AB≧BC-AC, AB≧AC-BC,
よって
　　AB≧|AC-BC|.
これに、AB = √((x-y)^2+(y-x)^2) = √2|x-y|, AC = √(x^2 +( y-(-1))^2), BC = √(y^2 +( x-(-1))^2) を代入する。

補足

三角形の座標はどのように判断したのでしょうか？
よろしくお願いします。