数学得意な人～！確率の問題 ：1t積めるトラックに

質問

ドライバーは目の前の50個の箱から10個選んで積まなければなりません。

50個の重さの平均は95Kgで、個々の重さは85Kg～105Kgの範囲で正規分布しているとします。

ドライバーが任意に選ぶ10個の重さの合計が1,000Kg（1t）を超えない確率を計算する方法はありますでしょうか。

上記の値は例で、実際計算しようとしている値ではないので、もし必要な値が不足していたら仮定していただいて構いません。

さんざん考えましたがさっぱりわかりません。賢者の皆様からのご回答をお待ちしております。よろしくお願い致します。

回答No.4

masa2211 · ベストアンサー

>計算方法はありません。
>「85Kg～105Kgの範囲で正規分布」という表現が分布の定義になっていないからです。」
>「ほとんどのデータが±３σに入る」からσ＝２０/６だ、というのは「迷信」です。計算方法が示せない、
計算方法が無いとは、標準偏差を仮定しても計算できない、という意味にとります。
※質問文の主旨より、こう解釈せざるを得ない。
※※計算方法が示せないのと数値で示せないのは、意味ががまるで違う。

この場合、最大最小は質問文で明示れていて、
最大最小間で一様分布を仮定しての場合で、標準偏差約5.8です。
正規規分布なら、当然、標準偏差5.8より小さいです。
ここまでが、質問文により確定。

でもって、私の計算はσ＝２０/６でなくてσ＝２０/４の場合であり、σ＝２０/６を採用していません。
つまり、 <σ＝２０/６だ、というのは「迷信」> の部分は考慮済み。
それでも迷信というなら、σ＝２０/４よりもっとデカい、ということを示してください。
※一様分布の場合で、やっと標準偏差約5.8です。こっちでも、当方は全く困りません。計算式の部分
はダメージを受けないから。

重さ85Kgと105Kgの2値分布(質問文における最悪状況。正規分布という文言無視。)で厳密計算しても、
確率９４％という数値は、有効２桁までは変動しない(厳密計算と近似計算の差)から、当初提示した計算式で計算して一向にかまいません。中心極限定理により、近似として正しいことは保証されます。
計算式において、標準偏差に実際の値を入れて計算しなおせばok。ただそれだけ。
間違っても、計算方法が示せない、という事態にはなりません。

よって、
>計算方法はありません。
そんなことはないです。
結果が示せないだけで、計算式(近似式)の提示は可能です。それしか言いようがありません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
実は本来計算したかったのは：
26,580kg積載可能なトラックに、281個の箱から任意の30個選ぶときに超過しない確率です。
これにあたり、281個全ての箱を測定したところ、平均=876kg、標準偏差=15（Excelのstdev）、最小=818kg、最大=925kgでした。重量の分布は818kg～925kgの範囲で正規分布（という表現が正しくなかったのでしょうか?要は富士山のような分布と伝えたかったのですが・・・）しているとします。

いただいた計算の本質的な理屈が全く理解できておりませんが、上記の値を代入していくと、
30回足した場合の分散=30x(15x15)=6750 標準偏差=√6750=82
30個の合計の平均=26280kg 300kgの余裕 標準偏差の3.65倍
3.65以下の確率=Normsdist(3.65)=99.9%
で間違いないのでしょうか?
>多数の数値を足す場合、平均の上と下が適当に混じるので、平均×個数から意外にズレない。
とは言うものの、「余裕」が300kgしかないので、
少しでも偏った抽出をすると外れてしまいそうで、
本当に99.9%もの高い確率が得られるのか心配です。

もう一声力強い太鼓判をいただけると幸甚です。
どうぞよろしくお願い申し上げます。

回答No.3

Ishiwara

計算方法はありません。
「85Kg～105Kgの範囲で正規分布」という表現が分布の定義になっていないからです。」
「ほとんどのデータが±３σに入る」からσ＝２０/６だ、というのは「迷信」です。

回答No.2

masa2211

10個の重さの合計の最小は850kgですが、この場合も1,000kg以下なのでｏｋと考えて良いですよね?

結論は、ほぼ100%の確率で1000kg以下です。

計算には、個々の箱の重量の標準偏差が必要。

正規分布の場合、最大と平均の差が、おおむね２σ～３σに該当するとみなして良いから、
与条件での標準偏差は、３～５kgとなります。
以下、標準偏差を大きめに５と仮定します。
標準偏差５のサンプルをを１０回足す場合、標準偏差σを合計するのでなく分散σ^2を合計すればよいから
10回足した場合値の分散は、10*(5*5)で250。標準偏差に戻すと√250=16。

※多数の数値を足す場合、平均の上と下が適当に混じるので、平均×個数から意外にズレない。
※※誤差伝播法則を使って、合計の標準偏差＝個々の標準偏差×√個数 と計算しても同じ。

一方、10個の合計は、平均950kgなので、50kgの余裕があり、標準偏差の3.2倍。
3.2σ以下の確率は、正規分布表より、99.9%。 EXCELの、NORMSDIST(3.2)で計算。

標準偏差の考え得る最悪状態は85Kgと105Kgの箱が半々ですが、
その場合で標準偏差は10kgであり、同じように計算すると、確率９４％で1000kg以下です。

回答No.1

puusannya

「個々の重さは85Kg～105Kgの範囲で正規分布している」というところが少し理解しにくいのですが、
逆に考えて、平均が９５kgの品物を１０個取り出して、合計が900～1000の間にある確率が95％になって欲しいとすれば、標準偏差が25.5位である必要があります。

標準偏差がこれより小さいときには確率はより高くなります。
たとえば１０個単位の平均が950kgと考え、これが900～1000の間にある確率は
標準偏差を20とすると、（1000-950）／20＝2.5　
正規分布表の左端の欄の2.5のところのすぐ右に0.4938とありますから、
950～1000となる確率は、49.38％、900～1000となる確率は98.8％となります。

逆に標準偏差がこれより大きいときには確率はより低くなります。
たとえば標準偏差を30とすると　（1000-950）／30＝1.67　
表の右端の1.6のところを右へ進んで７の下の数を読むと、0.4525ですから、
このときには900～1000になる確率は　90.5％になります。

正規分布の時には、平均と標準偏差もしくは分散か不偏分散が分からなければ計算ができません。
また厳密には５０個で正規分布するということが考えられなく、この場合にはχ２乗分布など他の分布を使うほうが正確な数がでるのでしょう。

生意気な答えを出しましたが、これが100％正解ですとはいえませんので、他の方の解をお待ちください。

お礼

puusannyaさん、masa2211さん
早速のご回答ありがとうございます。お礼が遅れ申し訳ありません。
いただいた回答（がこれまた難解なので）をじっくり拝見、実例に当てはめなおして考えさせてください。標準偏差等の前提が不十分だったようなのでもう一度質問させていただくかもしれません。
それにしても今回の地震で被害にあわれた方々にはお見舞い申し上げます。
総力をあげてできるだけ早く復旧することを願います・・・