絶対値含む不等式の問題

質問

絶対値含む不等式の問題で分からないものがあります。

問題は、 | -2a+1 | < | (a-1)/2 | です。私の解答は．．．画像を参照下さい。
絶対値内の符号で場合わけして解いてみましたが、どこで間違っているのか分かりません。

問題集の解法は両辺を自乗し (3a-1)(5a-3) < 0 と変形しています。
また、左辺は | 2a-1 | と等しいような記述をしています。

| -2a+1 |　は　a>1 では -2a+1 から x軸で反転して 2a-1 となるので、
どうも | 2a-1 | < | (a-1)/2 | でも同じという事はわかるのですが、
なぜ | -2a+1 | のままでは同じ解にならないのか分かりません。

皆さんよろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

こういう絶対値の不等式の問題は左辺と右辺のグラフを描いた上で、不等式の関係をグラフの上下関係に置き換えて考えた方が間違いが少なく、面倒な場合分けも不要です。
添付のグラフは横軸にa、縦軸に左辺のグラフ(黒線)と右辺のグラフ（青線）を描いています。
グラフの黄色の部分が不等式「左辺＜右辺」の成り立つ範囲であるから、交点のx座標「x=1/3,x=3/5」より与不等式の答えは
1/3<x<3/5
となります。

>どこで間違っているのか分かりません。
場合分けの図の(A),(B)は絶対値を取り除いた「-2a+1」と「(a-1)/2」
の符号で場合分けしないといけないね。
aの範囲での場合分けは会っているけど、
[I]の不等式を解くところで間違えている。
　誤：a=1/5
　正：a=1/3
[II],[III]の不等式を解くところは合っている。
[I]で間違えたので
まとめる所での答えも違ってしまっている。
　誤：1/5<a<3/5
　正：1/3<a<3/5

>問題集の解法は両辺を自乗し (3a-1)(5a-3) < 0 と変形しています。

左辺、右辺とも絶対値付きなので両辺２乗した不等式と与不等式は同値（等価）です。なので両辺２乗した不等式を解けば解が求まる訳です。
絶対値が外れて場合分けが不要になるので、優れた解法ですね。

>また、左辺は | 2a-1 | と等しいような記述をしています。

その通りです。

>| -2a+1 |　は　a>1 では -2a+1 から x軸で反転して 2a-1 となるので、
>どうも | 2a-1 | < | (a-1)/2 | でも同じという事はわかるのですが、

その通り。いわゆる|-2a+1|と問題がなってるのは、（間抜けな人に対する単なる）引っ掛けにすぎません。

>なぜ | -2a+1 | のままでは同じ解にならないのか分かりません。
それは、質問者さんが計算を間違えているだけでしょう。正しく計算すれば同じ正解が得られるはずです。

[ポイント] 絶対値不等式や方程式はグラフを描いて、といた方が間違いやミスを防げますので是非グラフを描くようにしよう！

お礼

[I]で間違えてました。

グラフで考えると、どういう状況か分かりやすいですね。
たいへん詳しく解説して下さりありがとうございます。

回答No.3

adachirusan

まず、｜3｜=｜- 3｜になるのは分かると思います。
絶対値記号の中ではマイナスをかけても元の値と一緒になります。

I.のa<1/2 の場合が先の方も仰る様に計算ミスの様です。
a>1/3 になるはず。

お礼

[I]で間違えてました。
ご回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

たぶん, I が間違ってる.

お礼

ご回答ありがとうございます。
[I]で間違えてました。