積分で面積を求める？？

質問

y=(cosx)^2
y=1
の二つに囲まれた部分の面積を求めたいです。
0<x<π です。

そこで、グラフにすると、y=１のほうが上にあるから、
(1-(cosx)^2)を積分しようと思ったのですが。。。
ここから先が進みませんでした。
ちなみに、答えはπ/2のようです。

解き方を教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.1

kumagoro- · ベストアンサー

S = ∫[0～π](1-cosx^2) dx
= ∫[0～π]sinx^2 dx
= ∫[0～π](1+cos2x)/2 dx
= [x/2 + (sin2x)/4](0～π)
= π/2
となります。

また、
∫[0～π/2]sinx^(2n) dx = ((2n-1)/(2n)) * ((2n-3)/(2n-2)) * ・・・ * (1/2) * (π/2)
という公式を知っていれば、

S = ∫[0～π](1-cosx^2) dx
= ∫[0～π]sinx^2 dx
= 2∫[0～π/2]sinx^2 dx
= 2*(1/2)*(π/2)
= π/2
といった解法もあります。

回答No.3

Rossana

加法定理より
　cos2x=cos(x+x)
⇔cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2
⇔cos2x=(cosx)^2-{1－(cosx)^2}
⇔cos2x=2*(cosx)^2-1
∴(cosx)^2={1-cos2x}／2
したがって、この半角の公式を代入すると
∫「区間は0～πまで」(1-(cosx)^2)dx
=∫「区間は0～πまで」{1＋cos2x}／2　dx
=(1/2)*〔x+sin2x/2〕「区間は0～πまで」
=(1/2)*{(π+0)－(0+0)}=π／2

回答No.2

mtt

(1-(cosx)^2)はsin２乗+cos２乗＝1の公式から当然、sin２乗X

定積分「0.π」∫sin２乗XdX=定積分「0.π」∫【(1-cos2X)/2 】dX

これを計算。

ゆえに、区間「0.π」で　［x/2 - (sin2X)/4］　よりπ/2が出ます。