アレフ0より小さな濃度をもつ無限集合

質問

アレフ0（可算集合の濃度）より小さな濃度をもつ無限集合はありますか。

回答No.3

rinkun · ベストアンサー

> 可算選択公理（英語版）（選択公理の弱いバージョン）を仮定すれば、\aleph_0 は他のどんな無限基数よりも小さい。
# http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0

上記から少なくとも可算選択公理が成り立たない体系を想定しないと、質問の無限集合は存在しません。

アレフ0より小さい無限濃度の無限集合が存在するなら自然数全体Nの中への単射が存在するわけです。
その像が最大値を持つと有限になるので、その像は最大値を持たない。
自然数の部分集合は最小値を持つので、小さい方から順に対応付けすると自然数から仮定した無限集合の中への単射が作れそうな気がしますが、可算選択公理がないからこれが関数にならないのかな。
何にせよ、アレフ0と比較不可能というくらいならともかく、より小さな無限濃度の存在はかなり不自然ということは認識頂けると思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

tmpname

ちょっとだけコメントしておくと：
> 何にせよ、アレフ0と比較不可能というくらいならともかく、より小さな無限濃度の存在はかなり不自然ということは認識頂けると思います。

ZFでも可算基数と比較可能でより小さな基数は有限基数なので、無限基数でかつ可算基数より「小さい」ものはZFでも存在しません（可算基数は無限基数の中で「極小」）。ZFCなら可算基数は無限基数の中で最小であることが言えます。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

tmpname

ZFCでの通常の濃度の定義で考えているものとすると、無限集合は常に可算無限集合を含むので、そのようなものはありません。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

FEX2053

見つかってはいない・・・が答えではないかと。

ただ、少なくとも「自然数全体の集合」より小さい連続体というのが
「考えにくい」からこそ「可算濃度」がアレフ=ゼロになったんだと
思いますよ。「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」
ということと、表裏一体の話ではないかと・・・。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC

お礼

アレフ=ゼロより1段小さい濃度はアレフ-1になるんではないかと思いますが、アレフ-1は定義不可能ってことですか。

２＾アレフ0＝アレフ1　なら、普通に考えて　２＾アレフ-1＝アレフ0ではないでしょうか。

で、両辺の対数をとって　アレフ-1＝logアレフ0　ではないでしょうか。
アレフ0の対数はとれませんか。