和集合と濃度の関係について

質問

こんにちは。
集合論の本を読んでいて、わからないところがあります。お力をお貸しください。

わからないところは、ベキ集合のベキを無限にとることによって、無限濃度の可算増加列が得られるが、その可算列の先のさらに大きな濃度の集合Mをとることができるというところです。

自然数の集合Nのベキ集合をB^1（N）とし、そのベキ集合のベキ集合をB^2（N）とすれば、上述の無限濃度の増加列が、「|N|＜|B^1（N）|＜|B^2（N）|＜…＜|B^n（N）|＜…」として得られます。
このとき、M=⋃（n=1から∞）B^n（N）とおけば、「|B^n（N）|＜|M|」が導かれるというのです。

私の疑問は、「n=1から∞」までのB^n（N）の和集合の濃度が、本当に|B^n（N）|を超えるのか？というところです。
といいますのも、アレフにアレフゼロを足してもアレフのままであるように、和集合が単純にB^n（N）より大きくなるとは言えないんじゃないか？と思うからです。

この論理の根拠は（すなわち和集合と濃度の関係についての上述の論証の根拠は）どのようなものなのでしょうか？

アドバイスお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

正確に書けば
M=⋃（n=1から∞）B^n（N）とおけば、『任意の自然数nに対し、|B^n（N）|＜|M|が成り立つ』、ですよね。

任意の自然数nを取ってくると、Mの定義から明らかに|B^n（N）|< |B^(n+1)（N）| ≦|M|でしょう？（だってM⊃B^(n+1)（N）ですし）

補足

ありがとうございます！
正確に書けばその通りです！！すべてのnに対してとありました！

ミソとなっているのは、『「任意の自然数n」と「∞」の関係』ということですか？
どのような自然数nをとってきてもそれを超えるn+1ないし∞が後に続いているということでしょうか？

どうも可算増加列「1<2<3<…<n<…」を与えて、「この可算列の先」という言い方をすると
『「1<2<3<…<n<…」+α』のαを考えてしまいます。ここではあくまでも「1<2<3<…<n<…」の内で、任意のnとその先の話のことを議論していると考えてよいでしょうか？

？ばかりで申し訳ありません…。

お願いします。

回答No.2

tmpname

そもそも無限が絡む議論をしているのに、そんな「感覚」で捕えようとしてどうするのですか。一つ一つ「定義は何か」ということを、感覚でとらえないで定義から正確に把握して議論してください。

例えば数列(a_n)が与えられた時、lim_(n→∞）a_nというのは「∞」というのを使わない形で定義されているでしょう？数列におけるlim_(n→∞）a_nというのはどういう定義だったでしょうか。

それと同様にそもそも⋃（n=1から∞）B^n（N）の定義を正確に理解しているでしょうか？一度補足に書いてください。その上で、私が書いた説明について不明な点があれば、改めて書いてください。

お礼

お返事が遅れてしまい大変申し訳ありません。

数学には定義が大切なんだと痛感いたしました…
ありがとうございました！