角度が１／２になれば傾きも１／２

質問

ひとつ確認したいことがあります。

タイトルどおりですが、２次関数のグラフを思い浮かべてください。たとえばｙ＝３ｘという直線があります。ｘ軸との角度が１／２になれば傾きも１／２のことが成り立つでしょうか？つまりｙ＝３／２ｘ。

中学生でもわかる証明する方法あるでしょうか？tangent使用ＯＫです。

回答No.5

denden_kei · ベストアンサー

＞ｘ軸との角度が１／２になれば傾きも１／２のことが成り立つでしょうか？つまりｙ＝３／２ｘ。

皆様が回答されたように、これの命題は成り立ちません。

ただ、
「x軸との角度Θ(rad)≒0の場合、傾きtanΘ≒sinΘ≒Θ」
の近似式は成立します。等号ではなくて≒であることが重要です。

ご質問のy=3xとy=3/2xでは、それぞれΘ≒1.25と0.98(それぞれrad)ですので、精度的にあまりいい近似ではないですね。
いっぽう、Θ=0.02rad,0.01radの場合の傾きtanΘ比は2.0002,0.1%の精度で成立します。工学の世界では「同じ」といって問題ないです。

純粋な数学の世界ではあまり役に立たない知識かもしれませんが、工学の世界では結構使う考え方ですし、手計算で概算が求められるので便利です。

お礼

すばらしいアイデアですね。こういった肯定的な回答も頂けると助かります。理論を実証するのって難しいですね。

回答No.4

fushigichan

handmishさん、こんばんは。

＞角度が１／２になれば傾きも１／２

には、ならないですね。残念ながら・・

＞条件提示するのを忘れていました。
ｙ＝２ｘの場合のみに関してはどうでしょうか？

では、この場合について考えてみましょうね。
y=2xというグラフは、点(1,2)を通ります。

この傾きが半分のグラフは
y=xですが、このグラフは、点(1,1)を通ります。
さて、このグラフとｘ軸とのなす角度ですが
（１，１）を通ることから、４５°４５°９０°の二等辺三角形を思い出せば
角度は４５°だとすぐに分かりますよね？

４５°の倍は、９０°ですよね？
９０°というと、ｙ軸になっちゃいますが
y=2xというグラフは、ｙ軸ではありません。

よって、傾きが倍になるからといって、ｘ軸となす角度は倍にはならないんですね。
こんな説明でいかがでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。私の考え違えでした。

回答No.3

ryn

ｘ軸とのなす角がθ, 2θ の直線の傾きはそれぞれ
　tanθ, tan(2θ)
です。

ここで、角度が２倍になるときに傾きが２倍というのは
　tan(2θ) = 2tanθ
が成り立つかどうかということになりますが、
0 < θ < π/4 の範囲でこの方程式を解くと
　2tanθ/{1 - (tan)^2 } = 2tanθ
⇔ (tanθ)^3 = 0
となってしまい解を持ちません。

お礼

tanをもちいると簡単に証明できるのですね。そんな方法は知りませんでした。

回答No.2

nigamushikun

x軸との角度が４５度ならば傾きは１。
x軸との角度が９０のときの傾きは２であるかどうか？

答えは否。よって「角度が１／２になれば傾きも１／２」または「角度が２倍になれば傾きも２倍」は否定される。

お礼

回答ありがとうございます。

条件提示するのを忘れていました。
ｙ＝２ｘの場合のみに関してはどうでしょうか？
もしくは第一しょうげん未満のみでは。。。これでもだめか。

回答No.1

liar_adan

成り立ちません。

たとえば、y=√3/2・xという直線の傾きは√3/2で、
角度は60度ですが、
角度を2倍の120度にすると、、y=-√3/2・xになります。

お礼

回答ありがとうございます。

条件提示するのを忘れていました。
ｙ＝２ｘの場合に関してはどうでしょうか？
もしくは第一しょうげんのみでは。。。これでもだめか。