傾きが垂直になることの証明の方法

質問

１）と２）は適当に考えたのですが、
これでいいのかどうかわかりません。　
付け加えるところがあるなら教えてください。
３）については証明の方法がわかりませんでした。

１）y = |x|が、ｘ＝０で傾きが垂直でないことの証明の方法

y = |x| は x = 0 で　y' が定義できないので　
左極限　右極限　をだし、　それぞれ　-１、+１となるので　
傾きは垂直でないといえる。

２）ｙ＝　x^(1/3) が　ｘ＝０で傾きが垂直であることの証明の方法

ｙ＝　x^(1/3) は x = 0 で　y' が定義できないので、
左極限　右極限をだし、　それぞれ　+∞　となるので　
傾きは垂直であるといえる。

３）　x^2 + y^2 = 1 がｘ＝１と-１で傾きが垂直になることの証明は
どうすればよいのでしょうか？　
片方の極限しか取れないので混乱してしまいました。　

３）について、わかる方がいたら教えてください、
また１）と２）についても、
上に書いたような証明の方法でいいのかどうかを教えてください。

回答No.2

kishiura · ベストアンサー

理系大学４年です。
１，２に関してはお考えの通りです。ただ正直、問題自体が言葉足らずです。
意図は分かりますが、「接線の」傾き、「ｘ軸に対して」垂直、ですね。
さて３ですが、x^2+y^2=1　という式を微分すると、2x+2y dy/dx=0　です。d(y^2)/dx　は、いわゆる缶詰の微分です。
これより dy/dx=±x/√(1-x^2)　となり、ｘを＋側、－側それぞれから近づけると
接線はｘ軸に垂直であることが分かります。
ただ、このやり方はあまりスマートではありません。先生をうならせる方法は他にあります。
x=cosθ、y=sinθ とおき、dx/dθ=-sinθ、dy/dθ=cosθより、dy/dx=-1/tanθ です。
ｘが１、－１に近づくとき、θはそれぞれ0、πに近づきます。
これより＋側、－側極限を求め、接線はｘ軸に垂直であることが分かります。

お礼

解答ありがとうございます！

なるほど～
x=cosθ、y=sinθと考えればθをつかって
右極限と左極限を出すことができるんですね。

どちらの解法もとても参考になり、
おかげで理解することができました。
ありがとうございました。

回答No.4

toranekosan222

おそかったかな？

あとは、変数をyにして、計算してやると、その微分係数が０のとこは垂直だったりします。

あとは、接ベクトルを考えて、ベクトルの内積＝０で、垂直もよいかと。

お礼

なるほど！
「xについて解く」ということは、
「ｙを変数にして考る」
ということだったのですね。

そのとき、「dx/dy=0になるところが傾きがｘに軸に対して垂直になるといえる」ということですね。

toranekosan222さん解答ありがとうございました！

回答No.3

kishiura

問題に円が出てきたら、ｒとθで考えるのが１番です。
無理にｘについて解くと煩雑になります。

回答No.1

whitedingo

(3)
ｘについて解けばいいと思う。

補足

解答ありがとうございます！
少しわからないことがあるのですが、

ｘについて解いて証明するということは、
ｘ＝　±　√（1-y^2）にして
dx/dy = ± 2y/{√（1-y^2）}
にしてy=0　つまりx = ±１でdx/dy = 0 になるので
x = ±１でグラフの傾きがｘ軸に対して垂直ということがいえる。

という感じの証明になるのでしょうか？