編微分について。

質問

f(x,y) = 0
の関数があるとします。この関数のグラフはz軸が0、すなわちxy平面のみのグラフになるのですよね？
で、
fy(x,y)
というのは、例えばx軸のある値の場所でy軸に沿ってf(x,y)を切り取った時のzy平面で見たときのグラフの傾きだと思います。
そうすると
f(x,y)=0のときは常に
fy(x,y)=0
のような気がするのですが、違うのでしょうか（本曰く違うみたいで…）？zが常に0ならzy平面で見たときは増加も減少もしない０が続く直線だと思うのですが…。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

> この関数のグラフはz軸が0、すなわちxy平面のみのグラフになるのですよね？

f(x,y) = 0
は
z=f(x,y)の3次元の曲面を
z=0の平面で切った時の切断面の
曲線を表します。
もちろん、この切断面の曲線はz=0（XY平面）上にあります。

> そうすると
> f(x,y)=0のときは常に
> fy(x,y)=0
> のような気がするのですが、違うのでしょうか
正しく理解されていないようですね。
z=f(x,y)は,XY平面上の曲面ではありません。
ですから
常に、fy(x,y)=0とはなりません。

例
z=(fx,y)=x^2+y^2-1
は円ではなく3次元の曲面です。(x,y)の値をいろいろ与えてやるとzの値が変化します。これを3次元の曲面にプロットしてやると下に凸の回転放物面になります。
z=0の平面で切断すると切断面は
(fx,y)=x^2+y^2-1=0
つまり
x^2+y^2=1
で半径1の円になります。
この円はz=0のXY平面上にあります。
だからといってz=f(x,y)はXY上の曲面や曲線とはいえません。
実際に、fy(x,y)=2y　となってfy(x,y)が常にゼロにはなりませんね。

お分かりでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

＞ f(x,y) = 0 の関数があるとします。
貴方の読んだ本が、本当に、定数関数 f(x,y) = 0 の話をしている
のだとすれば、z = f(x,y) のグラフは、z = 0 という図形ですから、
＞ この関数のグラフはz軸が0、すなわちxy平面のみのグラフになる
で正解です。その場合、∂f/∂y も当然、定数 0 になります。

おそらく、
その本は、方程式 f(x,y) = 0 で定義される陰関数の話をしている
のだと思います。f(x,y) = 0 と y = g(x) が同値になる、関数 g(x)
の話です。その場合、∂f/∂y = 0 となることも、ならないことも
あり、一概には言えません。

実際、f(x,y) = x^2+y^2-1 と F(x,y) = (x^2+y^2-1)^2 は、どちらも
同じ陰関数 y = g(x) を定めますが、曲線 y = g(x) 上の各点で、
∂f/∂y ≠ 0 かつ ∂F/∂y = 0 が成り立ちます。

お礼

字が違いました。偏微分でした。すみません。

回答ありがとうございます。
おかげさまで理解できました