内包的記法と外延的記法について

質問

集合で、内包的記法といえば変数xを用いて表す記法で、外延的記法といえば変数が出てこない、要素をただ書き並べる記法です。
質問です。
1、2、…、n、…→(1)
などのように、nは任意の自然数（つまり変数）を表すと辞書にあります。
しかし
A={1、2、…、n、…}→(2)
のように外延的記法でnをこのように用いると、nは変数ではなくなるのですかね?
外延的記法では変数が表れてはいけないはずだと思いますので。
一応確認ですが、逆に(1)のnは変数ですよね?
この記法でのnは範囲内で何かの値の上を渡り歩き、常に範囲内の何かの値に重なっているのだとイメージしてます。だから、(1)ではnは何に重なっているか分からないが、何かの値に重なっている瞬間だと考えてます。つまり、“ある瞬間”での変数の捉え方をしました。

最後に、外延的記法、例えば
B={1、2、3、…}→(3)
において、変数xをどうにか用いたいと考えたときについてです。すなわち、外延的記法で変数xを用いる事についてです。
例えば(3)においてx=1のとき、無理やり表すと
B={x=1、2、3、…}
つまり1をxに書き換えて
B={x、2、3、…}
このように、外延的記法で変数xを用いたいなら、要素の横や上にx=をつけたり、要素を変数xに書き換えたりする事に多分なります。（無理やり）

しかし、外延的記法で変数xを用いたいなら、外延的記法で変数xを用いてはならないから(3)を内包的記法に書き換えて
B={x｜xは自然数}
として、x=～のときを考えればいいですか?
だからx=～はどちらの記法の中にも表れず、内包的記法のxがx=～のときの～へ動いていくイメージで。（しかし要素がxへと動くのが正しいでしょうけど。まあイメージだからどちらでもいいとして。）
つまり言いたいことは、外延的記法で変数xを導入したいならそれは内包的記法で考えなければならなくて、外延的記法では変数は絶対に出てこないと思えば大丈夫ですか?

本当に長々とすみません。いつもこうなるんです…。

回答No.3

boiseweb

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集合の外延的記法 { 1, 2, 3, 4 } は，内包的記法 { x | x=1 または x=2 または x=3 または x=4 } の略記と考えることもできます．
（嘉田勝「論理と集合から始める数学の基礎」（日本評論社）p.6 より）
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「集合の外延的記法とは何か」について，私が『おすすめする』理解のしかたは上述のとおりです．
{ 1, 2, 3, 4 } という，外延的記法で書かれた集合を見たら，それは本来は内包的記法で { x | x=1 または x=2 または x=3 または x=4 } で書かれるべきもの，と思えばよいのです．この立場だと，外延的記法では変数は「略記したために不要になった（ので，表記に現れていない）」わけで，変数が見えていないと気が済まないのなら，上の流儀で（現れていない変数を補って）内包的記法に戻してやればよいのです．
もちろん，補う変数が x である必要はなく，y でも n でも同じことです．このことは，逆に
{ y | y=1 または y=2 または y=3 または y=4 }
{ n | n=1 または n=2 または n=3 または n=4 }
を「略記」して外延的記法で表すとどうなるかを考えればわかるでしょう．

上述の「略記」の考えは，「外延的記法のつもり」で記したものがちゃんとした集合の外延的記法になっているかの判定にも使えます．たとえば， { x, 2, 3, 4 } を上の流儀で内包的記法に「戻す」ことはできますか？ 戻したらどうなりますか？ それは意図通りの結果ですか？ 結果に納得いかないとしたら，それはそもそも「外延的記法のつもり」で記したものが不適切だということです．

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ついでに，もうひとつ，上述の「略記」の考えが説明に有効と思えるのは，
{ 3, 2, 4, 1 }
{ 1, 1, 2, 3, 4 }
のように，集合の外延的記法では要素の順番や重複は効力を持たない（集合を考えるうえではそれらの情報は捨象される）ことを説明する場面です．上の二つの例をそれぞれ
{ x | x=3 または x=2 または x=4 または x=1 }
{ x | x=1 または x=1 または x=2 または x=3 または x=4 }
と書き直せば，それらが { 1, 2, 3, 4 } と同一（区別不可能）であることを納得しやすいのではないでしょうか．

回答No.2

Tacosan

C={x、2、3、4}
と書いたら普通は
「C は x, 2, 3, 4 の 4個の要素からなる集合」
と理解します. x を変数とは思いません.

まあ
C(x) = { x, 2, 3, 4 }
であれば「x は変数」と解釈するでしょうけどね. もちろん
C(1) = { 1, 2, 3, 4 }
C(3) = { 2, 3, 4 }
などとなるわけですが.

回答No.1

koko_u_u

> A={1、2、…、n、…}→(2)
> のように外延的記法でnをこのように用いると、nは変数ではなくなるのですかね?

それは単純に集合 A を「外延的に」書けていないだけです。
人間が無限集合を外延的に記述することはできません。

> 最後に、外延的記法、例えば
> B={1、2、3、…}→(3)

この場合も同じく、集合 B を第三者が特定することはできず、外延的に書けているわけではありません。

> 外延的記法で変数xを導入したいならそれは内包的記法で考えなければならなくて、
> 外延的記法では変数は絶対に出てこないと思えば大丈夫ですか?

そもそもの意味からして、「外延的記法に変数x を導入する」という言い回しは日本語としておかしく、
多くの人には意味がとれません。

お礼

回答ありがとうございます。
外延的記法について、分かっていたつもりで質問していました…。
外延的記法は、要素を全て書かなければならない記法なのですね。
だから無限集合は外延的には書けないと。

補足

それなら、（3）を有限集合に変えたら質問したい事は伝わりますかね…?
B={1、2、3、4、6、10}
などと有限集合に訂正します。

C={x、2、3、4}→（4）
のように外延的記法で文字が出ても定数だと言うことですよね。

そして（2）では外延的記法は置いといて、nは変数か変数でないかを知りたいです。

ですが（4）で
C={1、2、3、4}とし、x=1だと決めておくと
C={1、2、3、4}={x、2、3、4}
と多分なります。つまり、Wikipediaにあるように変数を任意定数で捉えた考え方です。

分かりやすい例は
y=x+1において
x=1のときy=2
x=2のときy=3
…

このx=～のときという表記は、定義域の中から任意に選び出した、変数を任意定数で捉えたものです。（Wikipediaによると）

これと同じように外延的記法でも
C={1、2、3、4}において
x=1のとき C={x、2、3、4}
x=2のとき C={1、x、3、4}
…
のように変数を任意定数で捉えれば、外延的記法で変数を表す事もできなくはないかなと考えました。

この場合、C={1、2、3、4}={x、2、3、4}={1、x、3、4}={x｜0＜x＜5、xは整数}
となり、外延的記法で変数を考えるなら、内包的記法に書き換えて考えても任意定数で考えてもいいかなと思いました。

まあしかし、外延的記法で変数が表れた表記は見たことないし、そんな表記はないかもしれません。

あったとしても正しくないかもしれません。

また長くなりました…。
この質問を見て意味が分からなくて、この補足を見て伝わったという方で、回答してくださる方がいらっしゃいましたらお願いします。

まあやはり外延的記法では変数の概念なんてきっぱりと捨てちゃえばいいですかね?