変数xについて

質問

集合についてです。一つ納得いかない事があります。
例えば
A={1、2、3、…}
という集合で、x=1のとき～、x=2のとき～、…としていくとき、このxは値を代入するにつれて動く数と考えられます。つまり
x=1のとき
A={x=1、2、3、…}
x=2のとき
A={1、x=2、3、…}
となると思います。（本当は数字の上にx=とつけるべきでしたが、表しにくかったので。）
集合の円で考えるときも、xは値を代入するにつれて動く数だとイメージ出来ます。
しかし次の場合がちょっとイメージしにくいです。
A={x｜x>0、xは整数}
このxはx=1のとき～、x=2のとき～、…というようにxは個々の要素を表しているのではないと考えてしまいます。つまり、このxは常に全体を表す数だと考えてしまいます。
だから
x=1のとき
A={1}
x=2のとき
A={2}
というようにxが変わるんだから、集合の要素が変わってしまうと考えてしまいます。
だけど、このxも変数と言われているんだから、当然これは間違いですよね。
なので、こう考えました。
A={x｜x>0、xは整数}
これにおいて、見えないけどxの下には1、2、3、…が隠れていて、xはそれらの上に重なっているのではないでしょうか?
すると、動かせるxとなり、変数だとイメージ出来ます。
集合の円でも、x一文字で全ての要素を表してある図がありますが、これも実は見えないけど1、2、3、…が隠れていて、xはそれらの上に重なっていると考えました。
数学的には正しくないかもしれませんが、イメージとしては大丈夫でしょうか?
もしくは、正しくないのなら、教えて下さい。
長文すみません。

回答No.6

noname#221368

＞ラベルＸに書かれているx≠バッファーxと捉えられます。
ですが、空集合でも
「バッファーxには一度もチェックしないという命令を与える」
のだから、空集合でも、
x=バッファーxに一応なるんじゃないかなあとは思いましたが…。

　もう意味はわかっていると思いますので、x=バッファーxを縮めて、x＝xと書きます。空集合{x｜x≠x}
でも、x＝xはもちろん成り立ちます。

　x＝xは、ふつうの数学が標準理論として準拠する、古典論理学から導かれる恒真関係（恒等式）です。古典論理学と言うと、アリストテレスなんかを想像するかも知れないので（関係はしてますが）、具体的にいいます。

　(1)命題理論
　　「Ａ」が真で、「ＡならばＢ」も真なら、「Ｂ」も真・・・なんていう事をやる処。

　(2)第1階述語理論
　　ここで∀（任意の何々）や∃（ある何々が存在する）が、命題理論に参加します。任意のxについて何々とか、何々であるxが存在する、なんていう鬱陶しい言い方は、こっから来てます。必要十分条件の判定にも関係します。

　(3)等号付き第1階述語理論
　　(1)と(2)を全面的に利用して、「＝」を定義するのが、この部分です。

　大抵の数学は（標準的集合論も）、(1)～(3)の枠内で処理できます。(1)～(3)はふつう疑いません。(1)～(3)は、現実との比較テスト不要と考えます（ふつうは）。そうすると、とりわけそこでの恒真関係（「x＝x」や「ＡならばＡ」など）は、現実との比較テスト不要です。x＝xでは、xが存在する必要すらありません。それとは別に、x＝xは絶対成り立つと考えてる訳です。

　φ＝{x｜x≠x}の趣旨は、「x≠xが成り立つようなxなんて絶対ないから、φは1要素も持たない空集合」です。だから、つぎでも良いんです。

　φ＝{x｜xは負の整数で、0以上の実数}

　これでもよろしいのですが、整数理論や実数論は、古典論理に全面的に依拠してるので、より基本的な定義という事で、φ＝{x｜x≠x}が選ばれました。

　プログラムのテクニック（便利な書き方）の一つに、次のようなのがあります。「Do While Loop」というものですが、

　　Do While 条件Ａ(x)
　　　xの変更処理
　　Loop

と使います。xが条件Ａ(x)を満たす限り、ず～っと「xの変更処理」を繰り返せという命令です。1回も処理しない（チェックしない）で良くやるのは、

　　Do While x≠x
　　　xの変更処理
　　Loop

です。逆に条件が満たされるまで「xの変更処理」を繰り返したいなら（危険だけど）、

　　Do While x＝x
　　　xの変更処理
　　　Loopからの脱出条件
　　Loop

とやったりします。φ＝{x｜x≠x}の考えと、そっくりですよね？^^。

回答No.5

noname#221368

#4です。・・・ラベルxを、ラベルＸと大文字にしたのがまずかったかな？；；。

＞・・・ラベルＸは
{x｜xについての条件}
という書き方で表せて、
A={1、2、3、…}={x｜xは自然数}
というように集合Aとイコールでつなげられるのだから、「ラベルＸと集合Aは一応同じではないのかなあ」と思ってしまいました。

　上記の「ラベルＸ」は、とりあえず「ラベルx」に戻して、以下を読んで下さい。

　x＝1，2，3・・・である時、xは瞬間瞬間で、1にも2にも3にもなり得る変数であり、1，2，3・・・全体を表すものでもある、という考えは、大抵の場合不都合もなく、思考のショートカットとしては、とても有用なものだと自分は思っています。

　上記のような集合の定式化も、あり得たかも知れないんです。ごく短く集合論の歴史を述べます。

　集合論の創始者は、1845年生まれのゲオルク・カントールという人で、彼が40代の時に、現在の集合論につながる無限集合論を提出します。そこでの集合の定義は、「我々の思考によって区別できるものの集まりは、何でも集合である」といった、恐ろしく自由なものでした。要するに、考えつく事さえできれば、何でも良いんです。これはとても自然な考えで、今では素朴集合論と呼ばれています。そこでは、ある時は集めたものの全体で、またある時は集まりの要素である集合xなんて定式化も、可能だったかも知れません。これが上手く行けば、カントール先生の奔放な夢のままに、もっと素直な集合が、今に伝わったはずです。

　しかし駄目だったのです。「ある時は集めたものの全体で、またある時は・・・」というやり方には、致命的な欠陥が発見されます。もともと無限なんて当時は矛盾したものと思われていたので、無限集合論を提出したカントール先生は、欠陥が見つかって「それみた事か！」と、既成数学者からの総攻撃を食らい、精神病を患ったまま、死んでしまいます。

　・・・ラベルＸをラベルxに戻します。

>>「ラベルx」は、{x｜xについての条件}という書き方で表せて、A={1、2、3、…}={x｜xは自然数}
というように集合Aとイコールでつなげられる・・・

としたら、x＝{x｜xは自然数}もOKですよね？。右辺は左辺の内容を定義しますが、両方に同じxが入っています。これが、「自己参照定義」という致命的な欠陥です。有名処では、ラッセルのパラドックスがあります。

　ふつうの集合だけを考えます。ふつうの集合では、集合自身は、自分の要素ではありません（部分集合にはなりますが）。ふつうの集合では、Ａ＝{Ａ，1、2、3、…}なんて事にはなりませんよね？。こういう素性のよろしくない集合は無視して、Ａ＝{1、2、3、…}みたいな集合ばっかり集めると「考えます」。素朴集合論によれば、集めた結果も集合Ｂです（集合の集合）。Ｂの中身の素性は大変よろしいので、みんなこんなのは大丈夫と思っていました。ところがラッセルさんが、Ｂに矛盾を発見します。

　「Ｂは、自分自身を要素として含まない集合の集合」は「自己参照定義」なのです。ちょっとした頭の体操で、それはすぐわかります。さらにラジオ体操第2をやると、「ＢはＢの要素でもあり、Ｂの要素でもない」が、すぐ出てきます。

　このような経緯から、素朴集合論は安全になるように、たくさん手枷足枷を付けられて現在の公理的集合論になります。足枷の一つが、「自己参照定義禁止」です。

　要素xと全体Ｘは、常に区別しなさいという話です。だから「ラベルxのイメージ」＝「ラベルＸ」＝Ａと考えるなら良いんです。「ラベルxのイメージ」＝「ラベルx」＝Ａは、不可です。

　これを守らないと、カントール先生のように、病に倒れますよ^^（冗談です^^^^）。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。よく分かりました。

確かに、要素と全体を同じものと見たら、ごちゃごちゃになってしまいますよね。

つまり、「ラベルxを集合Aと同じものとしなければOK」なのですね。まあつまり、誤って小文字にすべき所を大文字にしてしまったのですね。
↑なんかけなしているような言い方すみません…。もちろん、そんなつもりはないです。
しかし頂いた補足回答を読み、小文字に戻すとしっくりきました。ありがとうございます。

最後に（本当に何度もすみません…。）、ちょっとした確認をさせて下さい。
あるサイトで、空集合の表し方が以下のようにありました。
{x｜x≠x}
これは、
ラベルＸに書かれているx≠バッファーx
と捉えられます。
ですが、空集合でも
「バッファーxには一度もチェックしないという命令を与える」
のだから、空集合でも、
x=バッファーx
に一応なるんじゃないかなあとは思いましたが…。
まあバッファーは一般的チェックするものだと考えて、空集合ではチェックしないんだから、空集合では一般的な意味でのバッファーではないとして、≠としてあるとすればなんとかなると思いますが…。
どうでしょうか?

また長々とすみません…。

回答No.4

noname#221368

#2です。

　あなたは受験生であり、

＞しかしこのような事を考えていたら、センター試験に影響が出る・・・

こともわかっていて、

＞勉強をするときは、このような事は考えず、ただ教科書の事柄を受け入れ・・・

という事もやり、

＞自分は二次では数学がいらないです。前期はセンター試験だけで決まってしまいます。後期はセンター試験プラス小論文です。・・・今は数学を勉強する時間があります・・・ただ解けるだけで、きちんとは理解出来てない状態なのが嫌で…。

という状態なんですね。だったら「このような事」は、どんどんやりましょう！^^。

　#3さんへ。

　なるほど、束縛変数と自由変数の問題が根っ子にあったのか、と思いました。数学の経験に関わらず、本気で同じような事柄を考えれば、誰もが同じような処で引っかかるのだな、と感じました。自分も束縛変数と自由変数については、推論図辺りで混乱した口です（どっちからも、同じ結論が出ちゃうのはどうして？、といった感じでした^^）。

　再び質問者様へ。まず#3さんの仰る事はその通りなので、そのまま了解して下さい。その上で・・・。

　あなたの正体がわからなかったので、用心して今まで言いませんでしたが、あなたのイメージは、とても自然なものだと思います。というのはプログラムの実行動作では、ラベルＸに相当する機構を、実際に使用するからです。

　プログラムの実行は、証明や数学的記述の一文一文や一語一語を、チェックして行くのに似ています。

　　・x=1のとき～はOKか？，x=2のとき～はOKか？，・・・　　　(1)

という事を実際にやるんです。このときxは、1，2，3，・・・の上を走るように見えますが、実体は違います。ある固定された記憶域をxに与え、その上で1，2，3，・・・の方を、逆に動かします。一般的にこういうやり方は、Buffer（バッファー）機構と言われます。Bufferとは、補助記憶とか一時記憶程度の意味です。

　このバッファーxは、あなたの言うラベルＸと機能的には全く同じものです。Ａ＝{　}の時はたんに、1度もチェックをしない、という命令を与えて済ませます。でもバッファーxには記憶域を与えたので、それはあります。

　数学的には、あなたの言うラベルＸはないです。しかしラベルＸと同等な機構を利用して、数学的動作を実現する機械はあるわけで、あなたのイメージは異常どころか、とても自然だと思います。ちなみに普通の人は、xが1，2，3，・・・全部を表すと、当然のように思ってますし、大抵それで不都合はありません。しかしあなたは最初、xが1，2，3，・・・全部を表すとは思っていませんでしたよね？。

　　・ラベルＸを集合Ａと同じものだと考えさえしなければ、OK．

だと思います。

　以下余談です。

　プログラムにも、自由変数xと束縛変数xはあります。それはバッファーの機構が決めるのでなく、プログラム内容で決まります。数学と同じです。
　実は本当は数学も、「バッファー機構なら」許しているんです。補助定数の方法と言います。Ａ＝{x|x＞0}のxは、じつはこの補助定数で、束縛変数と結局同じです。束縛されてるので、補助的に導入された定数と、xをみなす立場もあります。補助定数は、結論に影響しません。#3さんと同じですが、

　　{x|x＞0}＝Ａ＝{y|y＞0}

となります。なぜ補助定数の方法を許すかというと、バッファー機構を、つまりラベルＸと同等な機能を、数学でも使いたいからですよ^^。さらに変数を持たないプログラム言語も存在しますが、あまり人気はないようです。やっぱり、やり方として不自然なのだと思います。

お礼

回答ありがとうございました。
バッファーという概念が知れて、ためになりました。

補足

なるほど。ラベルＸのイメージが間違えてはいなかったようなので安心です。

しかし一つ疑問が残りました…。何度もすみません。

“ラベルＸを集合Aと同じものだと考えさえしなければOK”
と仰られている所で一つ疑問が生じました。
自分が言うシール（ラベル）には、変数が一文字書かれていて（主にxですね。）、その変数は集合Aの中の一要素しか表せない、つまり全体を表しているのではない、とはよく分かりました。
つまり、変数が書かれたシールは一要素しか表せなく、集合AはA={1、2、3、…}というように多要素だから、その意味で同じものではないのですよね?
ですが、ラベルＸは
{x｜xについての条件}
という書き方で表せて、
A={1、2、3、…}={x｜xは自然数}
というように集合Aとイコールでつなげられるのだから、「ラベルＸと集合Aは一応同じではないのかなあ」と思ってしまいました。

集合Aは多要素を表しているけど、ラベルＸは一要素しか表せない（ここで誤解を与えてしまうかもしれないので一応言います。書かれている変数は要素ではない、とは言われてきたので大丈夫ですが。）という意味で同じものではなく、ラベルＸと集合Aは表す集合としては同じなのですかね?

A={1、2、3、…}={x｜xは自然数}
は、同じでもあり、同じでもないのですかね…。

些細な事で、単なるイメージなのに、深く追求して本当にすみません…。

回答No.3

felicior

「変数」についていろいろ深く考えていらっしゃるようで敬意を表します。
前回のご質問でも回答した者ですが、今回のご質問文の前半を読む限りでは
ある程度のところまでは納得していただけたのかな、と思います。

>> しかし次の場合がちょっとイメージしにくいです。
>> A={x｜x>0、xは整数}
>> このxはx=1のとき～、x=2のとき～、…というようにxは個々の要素を表しているのではないと考えてしまいます。
>> つまり、このxは常に全体を表す数だと考えてしまいます。

実は、この質問がくることは予想していました。
この記法（集合の内包的記法）のxはちょっと特殊なんです。
なぜなら、x=1が真である場合であっても、これを「代入」して、
　　A={1|1>0、1は整数}
と書いては意味不明だからです。

　　総和の記法：Σ[k=1～n]a_kにおけるk
　　極限の記法：lim[x→0]f(x)におけるx
　　定積分の記法：∫[0～1]f(x)dxにおけるx
　　関数の定義式：f(x)=x^2-3x+5におけるx
なども同じです。これらのkやxに数を「代入」してしまうと記法が意味をなさなくなります。

こういったときのxは「束縛変数」といい、記法の中で意味が完結してしまっているので
外部で具体的にx=1の場合を考えていようがx=πの場合を考えていようが、記法の中にまで影響が及びません。
だからこそ、例えば
{x｜x>0、xは整数}∪{x｜x<0、xは整数}
のように左右の条件に共通して当てはまるものがなくても、矛盾なく同じxという文字を使えます。

一方で、束縛変数は特定の文字である必要はなく、t、a、εなど何であっても同じ意味を表すという特徴があります。
つまり、{x｜x>0、xは整数}＝{a｜a>0、aは整数}＝{ε｜ε>0、εは整数}＝…となります。
特に、総和の記法は本来
Σ[k=1～n]a_k＝a_1＋a_2＋…＋a_n
というように「k」を使わずに書けるものを略記している意味合いがありますから、
Σ記法を使う以上、仕方なくkという文字を使う必要があるわけで、どの文字でも構わないのは当然です。
集合の記法も同じで、内包的記法の記法上の仕様として何らかの文字を使わざるを得ないのです。
定積分の記法となると実際に変数を使わず書くのは厳しいですが…
（束縛変数については、wikipediaの「自由変数と束縛変数」の項目も参照ください。）

>> A={1、2、3、…}
>> があり、シールを貼ると
>> A={x}
>> これに条件を加えて
>> A={x｜x>0、xは整数}

おもしろいイメージだとは思うのですが、これだと、
A={1、2、3、…}のうちの2以降だけにxのシールを貼って、
A={1,x}とし、これに条件を加えて
A={1,x｜x>1、xは整数}という書き方も許容してしまいます。
{(1,x)｜x>1、xは整数}という集合なら、{(1,2),(1,3),…}を意味するので大丈夫ですが、
{1,x｜x>1、xは整数}は正式には認められていないと思います。
これはこれでけっこう使い道ありそうですが…。

またこれとは逆に、
{x｜x>0、x<0}という集合は、条件を満たすxが無いので実際には空集合φです。
空集合φは、敢えて外延的記法で書くと
φ={ }
となりますが、質問者さんのイメージではこれにもxというシールが貼れるんでしょうかね？
このあたり質問者さんがどんな判断をされるのか少し興味があります。

結局、{x|x>0、xは整数}という内包的記法は、
同じく集合を表す記法だからという理由で、外延的記法{1,2,3,…}と同じカッコ{ }の記号を
再利用しているのがかえって質問者さんに独自のイメージを与えているのかなと感じます。
{ }の中がどちらの記法になっているかは、形式的には、縦棒があるかないかで区別されるだけです。
もし、{x, x>0, xは整数}と書いてしまうと、「x」「x>0」「xは整数」という３つの要素からなる
外延的記法ともとられかねないですから、なんか仕切り的なものが必要になるのは分かります。
でも私はこの「条件を縦棒で仕切る」という内包的記法を初めて見たとき、
なんか素人くさい書き方だな～と思いました。だって「縦棒」ですよ（笑）。

ちなみに、
A={x|x>0、xは整数}という集合の定義の仕方は、
　　x∈A　⇔　(x>0)かつ(xは整数)
と書きかえることが可能です。この場合、x=1が真であるときにこれを代入した
　　1∈A　⇔　(1>0)かつ(1は整数)
という表現は両辺とも恒真式（常に成り立つ式）なので成立します。
代入する意味があるかは別として、表現として意味を持ちます。

お礼

回答ありがとうございました。
束縛変数、自由変数という概念を教えて頂き、ありがとうございました。

補足

なるほど。
A={x｜x>0、xは整数}
における変数xは束縛変数、つまり書き換え不可能なのですね。

シールのイメージについてですが、2以降に貼る云々と仰ってますが、このシールは、述べているように、1、2、3、…が書かれている円と同じサイズだから、貼るならば全ての要素の上に貼らなければなりません。つまり、2以降に貼るのは不可能です。そしたらシールがぴったり合いませんから。
すなわち、貼るならば全てに貼らなければいけないシール（同形、同サイズだから）だとイメージすれば大丈夫じゃないでしょうか…?
自分はそうイメージしてます。

あと、空集合φ={}があり、これにシールを貼るなら、φ={x}となり、条件を書いてφ={x｜x>0、x＜0、xは整数}とすれば大丈夫じゃないでしょうか…?
空集合の内包的記法はないかもしれませんが、無理やりです。

すると、シールのイメージがどんな場合でも受け入れられると考えてます。

…どうでしょうか?
なんか偉そうに書いてすみませんが、良ければ回答お願いします。

回答No.2

noname#221368

#1です。

　結論から言えば、あなたがだんなイメージを持とうと、その結果の出力が正しければ、それでOKです。ただし2つ留意点があります。

　　(1)その結果の出力が正しいとは、イメージから得られる結果が、公に認められているものと一致するか？です。

　　(2)そのイメージは、他の数学領域に持ち込んだ時に、有効か？。

の2点です。

　(1)について言えば、公に認められているものとは違うイメージを持ったから、新しい結果を導けたという可能性はありますが、普通に考えれば、そのような可能性は皆無と考えるのが安全です。数学はそう言えるくらい、万人の検査を経て、今の結果や定式化になっています。自分のイメージが違う結果をもたらすなら、まず自分のイメージを疑うべきだと思います。でも今回に関しては、大丈夫そうな気が・・・^^。

　そして、上記を判定する一つの指標が、(2)です。

　自分はプログラマーでもありますが、一つの例をあげます。「1～10を数えるプログラム」といったら、どんな言語を用いても、たぶん次のようになります。

　　(a)x＝0を、変数xに強制する。
　　(b)数えるとは、1づつ足す事だから、x＝x＋1というプログラム文を書く。
　　(c)(b)を10回繰り返し、モニター画面に、xの最終結果を表示させる（x＝10となる）。

　数学的に言えば(b)における、x＝x＋1なんて数式は、「絶対に駄目」です。何故ならそれは、「0＝1」を導くからです。

　しかし(b)は「世界中のプログラマーの常識」であり、「現実にもプログラミング可能」です。何故でしょう？。

　それは(b)が、「変数という概念」の「最も直接的な具体化」であり、「条件(2)を満たす」からです。

　あなたがここまで書いた質問文を（過去も含めて）、皆さんがどう受け取ったのだろう？と考えると、恐らくですが・・・。

　　・何で、そう考える必要があるの？。
　　・余りにも不経済だし、不自然だ。
　　・何で、ちゃんと定義に従わない？。（数学は、定義に従えば効率的に出来ている）

だろうと思います。さらに言えば、

　　・ちゃんと、数学を勉強する気があるのか？。

なんて事態にもなります。だから、

　　・自分の状況を、ちゃんと述べてください・・・。

　あなたは受験生にも、だからといって、趣味で数学をやってる人にも見えませんでした。「もうちょっと後一行の」意味は、そういう事です。

お礼

回答ありがとうございました。
そう思われても仕方ないですね。

自分はあまりにも数学に対してだけは神経質で、イメージがいろいろわいてくるのですが、誰かに判断してもらわないと気がすまない性格で…。

自分の状況は、びっくりすると思いますが、受験生です。
しかしこのような事を考えていたら、センター試験に影響が出るから、センター試験までは勉強の合間合間にちょこちょこ質問してました。
勉強をするときは、このような事は考えず、ただ教科書の事柄を受け入れ、ひたすら問題を解いていました。センター試験はただ点がとれればいいですからね。
しかしただ問題が解けるだけでは嫌で、数学をきちんと理解したかったから、合間合間に質問してました。イメージだけはスッキリしなくて。
やはりイメージなんて教科書には書いてないし…。

自分は二次では数学がいらないです。前期はセンター試験だけで決まってしまいます。後期はセンター試験プラス小論文です。それでも一応国公立大です。
なので、今は数学を勉強する時間があります。
一応経済学部っぽい学部を受けるので、数学は大学でも使うと思います。
一応数学の問題はある程度解けますが、ただ解けるだけで、きちんとは理解出来てない状態なのが嫌で…。
数学は自分にとって、イメージがしづらいです。

長文すみません。

回答No.1

noname#221368

すいません。またまた自分です。さっそくですが・・・、

＞数学的には正しくないかもしれませんが、イメージとしては大丈夫でしょうか?

　他の方々は何と言うかわかりませんが、自分は「イメージとしてはOKだ！」と言ってしまいます。ただし正式な状況をわかっていないと、言い方（表し方）で色々と誤解を生むので危険です。

　A={x｜x>0、xは整数}は本来、

　　x＝1またはx＝2またはx＝3または・・・　　(1)：論理式による集合の定義

という論理式と同じだという立場を、現在の集合論は取ります。少なくとも現在の集合論は、ここまで即物的に出来ています。そして、上記の初期段階での省略記法が、

　　A={1，2，3，・・・}　　　　　　　　　　(2)：集合の外延的書き方

だとなります。でも(1)も(2)も、実際に使うとなれば、余りにも不便です。そこで、いわばさらなる省略として、

　　A={x｜x>0、xは整数}　　　　　　　　　　(3)：集合の内包的書き方

が導入されます。

　(1)，(2)を見れば明らかなように、少なくとも現在の集合論は外延的定義（即物性）が基本です。条件（内包)があろうとなかろうと、即物的に要素を並べ倒した時に、全ての要素が全部一致すれば、2つの集合は等しいのです。ある意味、とても明解な考えだとは思います。なので、

　　{x｜x>0、xは整数}＝{1，2，3，・・・}＝{x｜x≦0でなく、xは実数でかつ、無理数でも、割り切れない有理数でもない}

という構図になります。これが何度かお話した、現在の数学の外延性（即物性）です。もちろん、そうでない部分も沢山ありますが、集合が表面に出てくると、どうしてもこうなってしまいます。

　今回はこんな処で、許して下さい・・・。ちなみに以下は、「したからどうした？」って話なので、老婆心と思って下さい。

　ふつうは、あなたのように自分のイメージを記号化（形式化）しようなどとは思いもしません。数学も人間が作った物語であると、少なくともその言い回しについては了解し、適当に納得します（←自分です^^）。しかし自分なりの記号化や用語が、本人にとっては、けっこう役立つ事も知っています。それが「わかる」という事ですよね？。

　だから誤解を受けないような質問文が良いと思います。自分は経緯を知ってるので、あなたは決して、揚げ足取りの目的で質問してるのでないと思っていますが、

＞数学的には正しくないかもしれませんが、イメージとしては大丈夫でしょうか?

の後に、もうちょっと（後一行）、自分の状況を説明するコメントがあったら、もっと早く回答が付いたように思えます。

お礼

回答ありがとうございます。
…すみませんを言うのは自分です。神経質で、いろいろ考えているとさらなる疑惑がわいてきてまた質問をしてしまいます。
自分の質問文の最後のほうは、なんだか表現が正しくなかったみたいですね…。

補足

ちょっと補足すみません。
やはりイメージは人それぞれだけど、正式な定義を知っていてはじめて、イメージを自分なりに定義出来るんですね。

自分のイメージは正しいだとか誰にも言える事ではないと思いますが、
“xの下に見えないけど1、2、3、…が隠れていて、xはそれらの上に重なっている”
などというイメージはどう感じられましたか?
なんか分かりにくいですよね…。
集合の円で考えた方が説明しやすいので、円で説明します。
1、2、3、…という要素が書かれた円があります。この円と同じサイズの、xという文字だけが書かれたシールを用意し、貼ります。すると、1、2、3、…が隠れていて見えなくて、xがそれらの上に重なっていますよね。
要素を書き並べる記法についても
A={1、2、3、…}
があり、シールを貼ると
A={x}
これに条件を加えて
A={x｜x>0、xは整数}
となります。
こんなイメージです。上手く伝わったでしょうか…?

また長々とすみません。時間があるときでいいので良ければ回答お願いします。