発散（∞）に関して

質問

ネイピアの数＝自然対数の底eの証明としてテーラー展開を使わずに
証明する時の途中式で疑問が沸いたのですが、
上に有界な数列{x_n}の要素の一つをある自然数mを使ってx_mとして、
===以上はどうでも良いんですが================================
mは１＜＝m＜nの任意の値で
まず一番目にn→∞とする。
そのあとmはどんな値をとるかというと、
１＜＝mの任意の値です。 ・・・・(1) //ココの行が分からない。
よりm→∞としてOK

(1)以下が分からないで困っています。
よく質問ばかりして、悪いと思いますが、どうかよろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba

質問者が自分の視点のみで
証明をぶったぎってるから・・
何をいいたいのか分からない．
そもそもどういうレベルの証明なんだか

一番一般的だろう証明は
数列{(1+1/n)^n}が上に有界・単調増加であることを示して
それによって収束することを示す
わざわざ二つも変数を出す必要はないし
一番目も二番目もない．

任意の実数xに対して
(1+1/x)^x のx->∞の極限を考える必要もあるが，これは
x->∞を考えるのでx>0としてよく，任意のxに対して
n<=x<n+1とできる自然数nが存在して
(1+1/(n+1))^n < (1+1/x)^x < (1+1/n)^{n+1} ・・・(1)
を示して
はさみうちで収束性を示す
というような流れだと思う．
(1)で左右に微妙な細工があるのに注意

補足

厳密にやってるんですが、
ものすごく長くなってしまうんで、かつあいさせていただきます。
x_nは2項定理より増加数列で上に有界なので
x_n<1+1+1/(2!)+・・・・1/(n!)=y_n
y_nは増加数列で上に有界なので
◎n>m>=1の時
x_n>途中式長すぎるのと、醜いんでかつあい。この式をg(m,n)
ここでn→+∞とすると、はさみうちの定理より、はさみうちも証明済みなので、
g(m,+∞)<x_(+∞)<=y_(+∞)*************g(m,+∞)=y_mより
y_m<x_(+∞)<=y_(+∞)でmは1<=M<(+∞)の任意の自然数 //ココの行がわからない
ここでm→+∞とすると、はさみうちの定理より、 //ココの行がわからない
y_(+∞)=x_(+∞)でx_(+∞)をeとしたので、テーラー展開を用いずに証明できた。