ルベーグ積分の質問です。

質問

(1)f,gをE∈Md上で0≦f≦gを満たす可測関数とするとき
∫_E f(x)dx ≦∫_E g(x)dxを示せ。

(2)f,gをE∈Md上でf≦gを満たす可積分関数とするとき
∫_E f(x)dx ≦∫_E g(x)dxを示せ。

これはどのように示せばいいのでしょうか？
定義から0≦s≦f(あるいはg)を満たす単関数を取って、
それのsupを取ったとしても常に不等式が成り立つかどうか、
少しわからないところがあります。

回答No.1

rinkun

(1)だけ。0≦s≦fなる単関数を取れば当然に0≦s≦g。
したがってルベーグ積分の定義によりΣs≦∫_E g(x)dxである。
sについてsupを取れば∫_E f(x)dx ≦∫_E g(x)dx。