数Ｂの問題です。

質問

不等式の証明

nが2以上の自然数であるとき、次の不等式を数学的帰納法によって証明せよ。

3^n＞2n＋1

証明)

(１)n＝1のとき成り立つことを示す
より、この場合最小は2なので
n＝2 のとき

(左辺)＝3^2＝9、(右辺)＝2・2＋1＝5
より成り立つ

(２)n＝Kのとき成り立つことを仮定し、n＝K＋1のときも成り立つことを示す
より K≧2 のとき、n＝Kのとき成り立つと仮定すると

3^K＞2K＋1 (―(2))

n＝K＋1 を代入

3^(K＋1)＞2(K＋1)＋1 (―(3))
を示せばよい。

(2)の両辺に3をかけると、 ←☆

3^(K＋1)＞(2K＋1)×3
3^(K＋1)＞6K＋3 (―(2)')

(3)より
3^(K＋1)－{2(K＋1)＋1}＞(6K＋3)－{2(K＋1)＋1}＝4K＞0 ←★

よって
3^(K＋1)＞2(K＋1)＋1

n＝K＋1のときも成り立つ

つまり すべての自然数nについて

3^n＞2n＋1 が成り立つ ■

☆と★がの所が分かりません。

☆は、3をかけて3^K＞2K＋1 (―(2)) を3^(K＋1)＞6K＋3 (―(2)') とした意味が分かりません。
3^(K＋1)＞2(K＋1)＋1 (―(3)) を示すのだからこれをどうにかするのではないのですか？

★は、見てみると(3)と(2)'が使われているように見えるのですが、訳分かりません。どういうことですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

yasuhiga · ベストアンサー

☆
だって、3^Kと3^(K+1)では３倍違うんだから、３倍するでしょう。
★
(3)を証明したいんだから、★の式は(3)を移項しただけでゼロ以上を示せばよく、(2)'を★の式に代入して計算したら4Kになった。ここでもうやった！って感じ。
最後の〆で、そもそも、n＝K＋1 を代入したんだから、当然、4K=4(n-1)＞0

回答No.2

noname#75273

(3) の「3^( K ＋ 1 ) - 2 ( K ＋ 1 ) + 1 > 0 」を示すには、
「3^( K ＋ 1 )」がネックになるわけです。

ここで、仮定した(2)の「3^K ＞ 2 K + 1」を両辺 3 倍することによって、「3^(k + 1) ＞ 6 K + 3」

3^( K ＋ 1 ) - 2 ( K ＋ 1 ) + 1 > 6k + 3 - 2 ( k + 1 ) = 4k > 0
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