数Bの問題について教えてください。

質問

すべての自然数ｎについて、ｎの3乗＋(ｎ＋1)の3乗＋(ｎ＋2)の3乗は9の倍数である。このことを数学的帰納法を使わずに証明せよ。

という問題です。自分では何回かやっているのですが答えが全くあいません。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67

同じような質問があります．

http://okwave.jp/qa/q7751939.html

これと同様にできます．

n=m-1とおくとmは整数で，

n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=(m-1)^3+m^3+(m+1)^3
=(m^3-3m^2+3m-1)+m^3+(m^3+3m^2+3m+1)=3m^3+6m=3m(m^2+2)
=3m{(m^2-1)+3}=3m{(m-1)(m+1)+3}=3(m-1)m(m+1)+9m
=3n(n+1)(n+2)+9(n+1)

n,n+1,n+2は連続する整数だからいずれかは3の倍数だから，n(n+1)(n+2)は3の倍数，3n(n+1)(n+2)は9の倍数．9(n+1)も9の倍数．したがって

n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=3n(n+1)(n+2)+9(n+1)

は9の倍数である．

※nは整数でも成り立ちます．

回答No.1

noname#163471

3{n(n+1)(n+2)+3n+3}と変形してみる。

中括弧の中のn(n+1)(n+2)が常に3の倍数であることに注意。