線形代数学のグラムシュミットを用いた問題

質問

線形代数学の課題で大変困っています！！！

3個のベクトル（列をベクトルと考えて）
a1=(1,0,-1)
a2=(0,-2,1)
a3=(1,1,-1)
をグラムシュミットの方法で正規直行化し、得られたベクトルを書け。

とあるのですが、線形代数がとても苦手で、まったくわかりません。
よければどなたか解答、解説をお願いします

回答No.2

paltaan · ベストアンサー

線形代数を学ぶ上でのアドバイスを少し…
線形代数の授業では一般性を持たせるために3次元や2次元とは限定せず
n次元として話を進めるのが一般的ですが、
必ず最初は3次元や2次元でのイメージを持って下さい。
グラム・シュミットの正規直交化法でも、何をしているのか、のイメージを持って下さい。(この問題では3次元の空間をイメージ)

グラム・シュミットの正規直交化法の流れをまず解説します。
[1本目]
(1)　a1を基準にとる
(2)　a1を正規化する(長さ(ノルム)を１にする)

[2本目]
(3)　a2をa1に対し直行するように1次変換する
(4)　(3)で作ったベクトルを正規化する

[3本目]
(5)　a3をa1とa2に対し直行するように1次変換する
(6)　(5)で作ったベクトルを正規化する

流れはこれです。では、実際に計算します。
(q:直行化したベクトル、e:正規直行化したベクトル、|　|:ノルム、( , ):内積)

(1)　q1=a1　(便宜上こうしておきます)
(2)　e1=q1/|q1|　(自分自身の長さで割る)

(3)　q2=a2-(a2,e1)e1
　　(図参照!このイメージが大切!!　(a,b)でaからbへの射影の|b|倍(スカラー)が求まる)
(4)　e2=q2/|q2|

(5)　q3=a3-(a3,e1)e1-(a3,e2)e2
　　( a3-(a3,e1)e1 のところでe1と直行化し、さらに -(a3,e2)e2 としてe2とも直行化)
(6)　e3=q3/|q3|

これで、e1,e2,e3はお互いに直行していますよね？
この流れからわかるように、グラム・シュミットの正規直交化法ではa1以外を基準にとってもよく、その場合は答えは異なりますが、必ず直交化されています。
a4,a5と増えてもやり方は変わりません。

一応、上の順序で正規直行化してみたので参考にしてください。

e1=1/√2(1,0,-1)

q2=1/2(1,-4,1)
e2=1/3√2(1,-4,1)

q3=1/9(2,1,2)
e3=1/√6(2,1,2)

お礼

なるほど、授業よりも分かりやすかったです○これで試験もこわくないです。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「グラムシュミットの方法」に突っ込むだけ. 内積やノルムの計算を間違えなければ問題ない.

お礼

ありがとうございます。解いてみたら、なるほどと思いました。