線形代数学～グラムの行列式～

質問

線形代数学の問題でどうしても分からないものがあったので教えて頂きたいです。
　Ｑ．Rmのベクトルv1,v2,・・・,vrが一次従属であるための必要十分条件は

（グラムの行列式）＝0

であることを証明せよ。

回答No.3

nubou · ベストアンサー

十分条件を示すところですがこれがちょっと納得できなかったです：
確かに私も納得してないのですよ
しかし納得して以内ながらももう少し詳しく説明すると・・・

ｒ個の実数上ｍ次元ベクトルｖ［１］，ｖ［２］，ｖ［３］，・・・，ｖ［ｒ］が一次従属
⇒
Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｘ［ｉ］・ｖ［ｉ］＝０である
すべては０でないｒ個の実数ｘ［１］，ｘ［２］，ｘ［３］，・・・，ｘ［ｒ］が存在する
⇒
Σ（１≦ｊ≦ｒ）・ｘ［ｊ］・（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）＝（ｖ［ｉ］，Σ（１≦ｊ≦ｒ）・ｘ［ｊ］ｖ［ｊ］）
＝（ｖ［ｉ］，０）＝０　（ｉ＝１，２，３，・・・，ｒ）
⇒
ｉ行ｊ列の成分が（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）であるｒ×ｒ行列の列ベクトルが一次従属
⇒
ｉ行ｊ列の成分が（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）であるｒ×ｒ行列の行列式が０
⇒
ｉ行ｊ列の成分が（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）であるｒ×ｒ行列の列ベクトルが一次従属
⇒
Σ（１≦ｊ≦ｒ）・ｙ［ｊ］・（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）＝０　（ｉ＝１，２，３，・・・，ｒ）である
すべては０でないｒ個の実数ｙ［１］，ｙ［２］，ｙ［３］，・・・，ｙ［ｒ］が存在する
⇒
∥Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・ｖ［ｉ］∥＾２
＝（Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・ｖ［ｉ］，Σ（１≦ｊ≦ｒ）・ｙ［ｊ］・ｖ［ｊ］）
＝Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・Σ（１≦ｊ≦ｒ）・ｙ［ｊ］・（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）
＝Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・０＝０
⇒
Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・ｖ［ｉ］＝０
⇒
ｒ個の実数上ｍ次元ベクトルｖ［１］，ｖ［２］，ｖ［３］，・・・，ｖ［ｒ］が一次従属

お礼

nubouさんまたまた本当にありがとうございます。十分条件をベクトルのノルムが０となることを示して、そのベクトルを零ベクトルであるという示し方本当に素晴らしいと思いました。再び、nubouさんの解き方を参考に具体化し、証明して見たらうまく行き、納得できました。感謝、感激、雨、稲妻って感じです！

補足

僕はnubouさんの理論は論理的にいけないところはなくこれでよいと思うのですが、自信なしなのは何故ですか？
　他の人からもう新しい解き方が送られてこなければnubouさんだけにポイントをあげる予定です。

回答No.2

nubou

（Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・ｖ［ｉ］，Σ（１≦ｊ≦ｒ）・ｖ［ｊ］）＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　↓

（Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・ｖ［ｉ］，Σ（１≦ｊ≦ｒ）・ｙ［ｊ］・ｖ［ｊ］）＝０

お礼

nubouさん毎回毎回ありがとう！苦労かけてますm(__)m
No.♯３の記述によりこれが何を意味しているのか分かりました！

回答No.1

nubou

ｒ個の実数上ｍ次元ベクトルｖ［１］，ｖ［２］，ｖ［３］，・・・，ｖ［ｒ］が一次従属
⇒
Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｘ［ｉ］・ｖ［ｉ］＝０である
すべては０でないｒ個の実数ｘ［１］，ｘ［２］，ｘ［３］，・・・，ｘ［ｒ］が存在する
⇒
Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｘ［ｉ］・（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）＝０　（ｊ＝１，２，３，・・・，ｒ）
⇒
ｉ行ｊ列の成分が（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）であるｒ×ｒ行列の行列式が０
⇒
Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・（ｖ［ｉ］，ｖ［ｊ］）＝０　（ｊ＝１，２，３，・・・，ｒ）である
すべては０でないｒ個の実数ｙ［１］，ｙ［２］，ｙ［３］，・・・，ｙ［ｒ］が存在する
⇒
（Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・ｖ［ｉ］，Σ（１≦ｊ≦ｒ）・ｖ［ｊ］）＝０　である
⇒
Σ（１≦ｉ≦ｒ）・ｙ［ｉ］・ｖ［ｉ］＝０
⇒
ｒ個の実数上ｍ次元ベクトルｖ［１］，ｖ［２］，ｖ［３］，・・・，ｖ［ｒ］が一次従属

ちょっとおかしいところが有りそうなので自信なし（後半があやしい）
誰かに指摘して貰うために回答しました

お礼

nubouさん質問してから一日でしかも朝という忙しい時刻に回答本当にありがとうございました。行列の問題をこのように表現するのはとても大変だったと思います。nubouさんの書かれた式を参考に紙に行列で書いて考えてみたら、必要条件のところまでは納得できました。あとは、十分条件を示すところですがこれがちょっと納得できなかったです。