線形代数 問題

質問

線形代数　問題

線形代数の問題です。かなり基本的な問題だと思うのですが・・・
（問題）ベクトルa≠0,b≠0においてa＝λb+c，c⊥bとおく時λ,cを求めよ。

Googleで検索してもなかなかヒットしないので・・・解き方の方法だけでも良いので教えて頂けませんでしょうか？

回答No.3

carvelo · ベストアンサー

aとbの内積を(a,b)のように表すことにします

このとき，c⊥bより(c,b) = 0だから
(a,b) = (λb+c,b) = λ(b,b) + (c,b) = λ(b,b)
よって
λ = (a,b)/(b,b)
c = a - λb = a - ((a,b)/(b,b))b

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

お礼が遅くなり大変申し訳ございません。ご回答ありがとうございます。線形代数の内積空間を一度さらいました。

内積はテキスト通りにa・bと表しました。

c⊥bよりc・b = 0を用いて
a・b=(λ・b+c)・b＝λ・b・b+c・b＝λ・b・b
λ＝（a・b）/（b・b）

a=(λ・b+c)
c＝a-（λ・b）
=a-(（a・b）/（b・b）)・b

cはa-(（a・b・b）/（b・b）)と表しても良いのでしょうか？内積の公理なので良いと考えています。
また、c⊥bならばc・b = 0はどのように証明されるのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

spring135

ベクトルaをVaで表す。
VaをVbに平行な成分と垂直な成分に分解すればよい。
Vbに平行な方向の単位ベクトルをui,垂直な方向の単位ベクトルをujとすると
Va=|Va|cos(t)ui+|Va|sin(t)uj
cos(t)=Va・Vb/|Va||Vb|（Va・VbはVaとVbの内積）
sin(t)=√(1-cos(t)^2)=√((|Va||Vb|)^2-(Va・Vb)^2)/|Va||Vb|
ui=Vb/|Vb|
Va=|Va|cos(t)ui+|Va|sin(t)uj
=|Va|Va・Vb/|Va||Vb|Vb/|Vb|+uj√((|Va||Vb|)^2-(Va・Vb)^2)/|Vb|
よって
λ=Va・Vb/|Vb|^2
c=Vc=uj√((|Va||Vb|)^2-(Va・Vb)^2)|Vb|
(ujはVa=a,Vb=bを用いては表せないのでこのままとする。）

回答No.1

Tacosan

c⊥b という条件をどう使うか, って問題だと思う.
あるいは「シュミットの直交化手法を知ってるか」という確認.