大学１年レベルの級数に関する問題です
∞ ∞
f(x)＝Σ(a_n・x^n)に対して、Σa_n/(n+1)が収束すれば
n=1 n=1
1 ∞
∫f(x)dx＝Σa_n/(n+1) が成立することを示せ。
0 n=1
という問題についてなのですが
私はこの問題を見たとき、次の定理
閉区間A=[a,b]上の連続関数f_n:A→R(n=1,2,・・・)を一般項とする関数項級数Σf_n(x)がA上で一様収束していれば
a ∞ ∞ b
∫ Σf_n(x)dx＝Σ ∫f_n(x)dx が成立する。
b n=1 n=1 a
という、項別積分の定理を使おうと思いました。
それで、f_n(x)=a_n・x^nとし、この問題において与えられたΣa_n/(n+1)が収束という条件から、Σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを導こうとしたのですが、うまくいきませんでした。
しかし、Σa_n/(n+1)が収束ではなく絶対収束だったら、Σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを導けました。
具体的には、
Σa_n/(n+1)が絶対収束より、Σ{a_n/(n+1)}x^nの収束半径Ｒは１＜Ｒを満たす。また、Σ{a_n/(n+1)}x^nとΣa_n・x^nの収束半径は等しい。
ここで
「整級数Σa_n・x^n＝Σf_n(x)の収束半径をＲとする。0<s<Rなる任意のsに対し、閉区間[-s,s]でこの関数級数は一様収束する」
という定理から、とくにs=1としてやれば、関数項級数Σf_nは[-1,1]で一様収束することが導ける。よって[0,1]でももちろん一様収束するから項別積分の定理が使える。
としました。
なのでもしかしたら”収束”という箇所がミスプリントなのでは？と思ったので質問させていただきました。
ですが、私が単に、収束という条件から答えを導き出せてない可能性のほうが高いと思うので。。。
どなたか回答よろしくお願いしますm(_ _)m
ぜんぜん解けなくてとても困ってます・・・。
お礼
上記のようになりました。 助かりました。