有限巡回群上の数列の効果的な分析方法を教えて

質問

例えば整数を６で割った剰余{0,1,2,3,4,5}の群上の数列(1){0,1,4,5}と、
この数列に1を足した数例(2){1,2,5,0}があるとして、
(1)、(2)に下の行列をかけてアダマール変換すると、

　　　 | 1 1 1 1|
　　　 | 1 -1 1 -1|
1/2　| 1 1 -1 -1|
　　　 | 1 -1 -1 1|

{5,-1,0,-4},{4,2,-3,-1}となります。
全部に１を足しただけなので、平均値だけ変化してAC成分がそのままだとイメージ通りなのですが、そうはなっていません。
もちろん、５＋１＝０の部分が引っ掛かっていることは分かりますが、数学的にきちんと説明できないのと、ではこういった数列の特徴をつかむにはどうしたらいいのかが分かりません。

どなたかダメな事の数学的な説明と、代換え案・方法を教えて下さい。

よろしくお願い致します。

回答No.1

hiccup

加法群にわり算が使われているのが気になります。
1 や -1 をかけることが単に「たす」「ひく」を指定するとしても、1/2 は加法群においてどのような作用を与えるのでしょうか。

仮に、環にまで広げたとしても

0/2 は、0 または 3
2/2 は、1 または 4
4/2 は、2 または 5
他はなし

のように、存在するときは２値になります。
だからそのつもりで計算をしているのなら、全ての成分に１を加えた効果は、第１成分には +2 または +5 として、他の成分には +0 または +3 として現れることになり、片方しか書いていない不備に目をつぶればあっているといえます。（第３、第４成分の順序も気になりますが）
詳しく書けば、{5,-1,0,-4} ではなくて {2または5,2または5,0または3,2または5}、{4,2,-3,-1} ではなくて {1または4,2または5,0または3,2または5} とするべきです。

門外漢が言うのもなんですが、この加法群の中で 2 で割ることは問題があると思いました。
代替案すらなくて申し訳ないです。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
申し訳ないなんて、とんでもないです。

周波数変換後の振幅も０－５の有限巡回群に移るのか、
それとも実数に移るのかも迷っているところでした。

行列式の－1と割り算もアリなのかどうか迷っています。