スピン演算子のパウリ行列と無限小変換のパウリ行列

質問

量子力学の基礎を勉強してるのですが、
1.「パウリ行列は、｜↑＞　と　｜↓＞　を基底とした時のスピンの演算子である」という内容と、
2.「パウリ行列Xは、exp(iθX)＝Σ～　として使うことにより、無限小回転変換演算をあらわす」という内容がありますが、この２つの関連がどうもわかりません。

個別には意味がわかりますが、両者の関連がわかりません。
リー群とかの本もちょっと読んだのですが、リー群自体はまあわかったのですが、この点は依然わかりませんでした。
内容的にも、「スピンz成分演算子」　と、　「無限小回転」　といった
関係あるようなないような微妙な分野に感じられます。

それとも、たまたま両方にパウリ行列が出てきただけで、両者に関連はないのでしょうか？

（そもそも、いろんな本に、「パウリ行列Xは無限小回転変換演算をあらわす」という文が出てきますが、これをそのまま鵜呑みにして、「パウリ行列は無限小回転の演算子である」ととって、「状態α｜↑＞＋β｜↓＞にパウリ行列をかけると、ちょっとだけ回転した　（α+δ）｜↑＞＋（β-δ)｜↓＞みたいなものが出てくる」と勘違いしてしまい、表現として良くないと思うのですが・・・。）

よろしくお願いします。

回答No.1

heboiboro

量子力学において、ハミルトニアンがある変換に対して対称性を持つとき、その変換の生成子は保存量になります。
ここで生成子といったのは、変換をU=exp(iλG)と書いたときのGのことです(λはパラメータ)。
特に、回転対称性に対応する保存量を角運動量と言います。

パウリ演算子が「スピン演算子」であると同時に「回転の生成子」でもあるのは、以上のような事実によるものです。

お礼

>>量子力学において、ハミルトニアンがある変換に対して対称性を持つとき、その変換の生成子は保存量になります。

なるほど・・・。そこらへん勉強不足だったかもしれません。
調べてみます。
ありがとう。